Kvadratni koren √a — koliko je √16?
Kvadratni koren broja a ≥ 0 je nenegativan broj čiji je kvadrat a; koren negativnog broja ne postoji; koren je jedan broj, a jednačina x² = a (a > 0) ima rešenja √a i −√a; potpuni kvadrati; √(a²) = |a|; koren razlomka i decimalnog broja; koren zbira nije zbir korena; jednačine √x = c.
Video
Pojmovi
- Kvadratni koren
- Za broj $a \ge 0$, kvadratni koren broja $a$ je broj koji nije negativan, a čiji je kvadrat $a$. Označavamo ga $\sqrt{a}$ (čita se „koren iz $a$“). Na primer, $\sqrt{49} = 7$, jer je $7 \ge 0$ i $7^2 = 49$. Iako je i $(-7)^2 = 49$, broj $-7$ nije koren iz $49$, jer je negativan. Takođe, $\sqrt{0} = 0$ i $\sqrt{1} = 1$. Kvadrat nijednog broja nije negativan, pa koren negativnog broja, na primer $\sqrt{-9}$, ne postoji.
- Koren i rešenja jednačine x² = a
- Koren je JEDAN broj, a jednačina $x^2 = a$ za $a > 0$ ima DVA rešenja: $x = \sqrt{a}$ ili $x = -\sqrt{a}$. Na primer, $\sqrt{36} = 6$, a jednačina $x^2 = 36$ ima rešenja $6$ i $-6$. Za $a = 0$ jedino rešenje je $x = 0$, a za $a < 0$ rešenja nema. Ovaj zapis važi i kad $a$ nije kvadrat racionalnog broja: rešenja jednačine $x^2 = 2$ su $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$, ali to nisu racionalni brojevi — takve brojeve upoznaćeš na sledećem času.
- Potpuni kvadrati
- Brojeve $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ — kvadrate prirodnih brojeva — zovemo potpuni kvadrati: koren svakog od njih je prirodan broj. Korisno je znati napamet kvadrate brojeva do $20$, na primer $16^2 = 256$, $18^2 = 324$, $19^2 = 361$. Broj $50$ nije potpun kvadrat: nalazi se između $49 = 7^2$ i $64 = 8^2$, pa $\sqrt{50}$ nije prirodan broj, već je između $7$ i $8$.
- Kvadrat i koren poništavaju jedan drugog (za nenegativne brojeve)
- Za svaki broj $p \ge 0$ važi $\left(\sqrt{p}\right)^2 = p$ i $\sqrt{p^2} = p$, na primer $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ i $\sqrt{8^2} = 8$. Kod negativnog broja pazi: $\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8$, a ne $-8$, jer koren nije negativan. Zato za svaki broj $a$ važi $\sqrt{a^2} = |a|$: koren iz kvadrata broja je apsolutna vrednost tog broja.
- Koren razlomka i decimalnog broja
- Ako su brojilac i imenilac potpuni kvadrati, korenujemo ih posebno: $\sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9}$, jer je $\left(\frac{7}{9}\right)^2 = \frac{49}{81}$. Ponekad razlomak prvo treba skratiti: $\sqrt{\frac{18}{32}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$. Mešoviti broj prvo zapišemo kao nepravi razlomak: $\sqrt{5\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4}$. Decimalni broj zapišemo kao razlomak: $\sqrt{0{,}36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{6}{10} = 0{,}6$. Broj pod korenom ima dvaput više decimala od svog korena.
- Koren zbira nije zbir korena
- Prvo izračunaj sve što je pod korenom, pa tek onda korenuj: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Greška je korenovati sabirke posebno: $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$, a to nije $10$. Isto važi i za razliku.
- Jednačine sa korenom
- Iz $\sqrt{x} = 6$ sledi $x = 6^2 = 36$: tražimo broj čiji je koren $6$, a to je kvadrat broja $6$. Isto i sa razlomkom: iz $\sqrt{x} = \frac{3}{7}$ sledi $x = \frac{9}{49}$. Iz $\sqrt{x + 5} = 3$ sledi $x + 5 = 9$, pa $x = 4$. Jednačina $\sqrt{x} = -2$ nema rešenja, jer koren nikad nije negativan. Rešenje uvek proveri zamenom.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | broj pod korenom (nije negativan) | — |
Koren negativnog broja ne postoji.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | desna strana jednačine | — |
Koren je jedan broj, a jednačina za $a > 0$ ima dva rešenja.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | bilo koji racionalan broj | — |
Za $a \ge 0$ je $\sqrt{a^2} = a$, a za $a < 0$ je $\sqrt{a^2} = -a$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $p$, $q$ | brojevi čiji su kvadrati brojilac i imenilac | — |
Razlomak pod korenom prvo skrati, ako može.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko je $\sqrt{225}$?
2. Koji od ovih korena ne postoji?
3. Koja su rešenja jednačine $x^2 = 256$?
4. Koliko je $\sqrt{(-7)^2}$?
5. Koliko je $\left(\sqrt{11}\right)^2$?
6. Koliko je $\sqrt{\frac{16}{49}}$?
7. Koliko je $\sqrt{0{,}49}$?
8. Koliko je $\sqrt{36 + 64}$?
9. Ako je $\sqrt{x} = 9$, koliko je $x$?
10. Koji od ovih brojeva je potpun kvadrat?
Rešeni zadaci
Luka kaže da je $\sqrt{16}$ jednako $4$ i $-4$, a Sara da je samo $4$. Ko je u pravu?
-
$4^2 = 16$ i $(-4)^2 = 16$Oba broja na kvadrat daju $16$ — zato jednačina $x^2 = 16$ ima dva rešenja.
-
$4 \ge 0$, a $-4 < 0$Koren je broj koji nije negativan, a čiji je kvadrat $16$.
-
$\sqrt{16} = 4$Sara je u pravu. Luka je opisao rešenja jednačine $x^2 = 16$: $x = \sqrt{16}$ ili $x = -\sqrt{16}$.
Izračunaj $\sqrt{\frac{80}{125}}$.
-
$\frac{80}{125} = \frac{16}{25}$Skratimo sa $5$: $80 : 5 = 16$, $125 : 5 = 25$.
-
$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$16 = 4^2$ i $25 = 5^2$; provera: $\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
Izračunaj $\sqrt{3{,}24}$.
-
$3{,}24 = \frac{324}{100}$Decimalni broj zapišemo kao razlomak.
-
$\sqrt{\frac{324}{100}} = \frac{18}{10}$$18^2 = 324$ i $10^2 = 100$.
-
$\frac{18}{10} = 1{,}8$Provera: $1{,}8^2 = 3{,}24$ — dve decimale pod korenom, jedna u korenu.
Reši jednačinu $50x^2 = 18$.
-
$x^2 = \frac{18}{50} = \frac{9}{25}$Obe strane podelimo sa $50$, pa razlomak skratimo sa $2$.
-
$x = \sqrt{\frac{9}{25}}$ ili $x = -\sqrt{\frac{9}{25}}$Desna strana je pozitivna, pa jednačina ima dva rešenja.
-
$x = \frac{3}{5}$ ili $x = -\frac{3}{5}$$9 = 3^2$ i $25 = 5^2$.
Reši jednačinu $\sqrt{x - 3} = 4$.
-
$x - 3 = 4^2 = 16$Broj pod korenom jednak je kvadratu korena.
-
$x = 16 + 3 = 19$Nepoznati umanjenik: razlici dodamo umanjilac.
-
$\sqrt{19 - 3} = \sqrt{16} = 4$Provera zamenom.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Izračunaj $\sqrt{0{,}0576}$. (Odgovor kao decimalni broj, npr. 0,3.)
Reši jednačinu $\sqrt{x + 7} = 6$.
Reši jednačinu $245x^2 = 125$. Upiši sva rešenja, odvojena znakom ; (npr. −4/9; 4/9).
Koja jednakost je tačna?
Koji broj jeste rešenje jednačine $x^2 = 7$, ali nije $\sqrt{7}$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 4. Iracionalni brojevi — gde je √2 na brojevnoj pravoj?