Rešavanje jednačine x² = a — koji je broj Ivan zamislio?
Jednačina x² = a: za a < 0 nema rešenja, za a = 0 jedno (x = 0), za a = b² > 0 dva (x = b i x = −b) i nema drugih; jednačine koje se svode na x² = a i (x + m)² = a; stranica kvadrata iz površine (samo pozitivno rešenje); ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat 2.
Video
Pojmovi
- Jednačina x² = a
- Rešiti jednačinu $x^2 = a$ znači naći sve brojeve čiji je kvadrat jednak broju $a$. Kvadrat nikad nije negativan, pa jednačina $x^2 = -9$ nema nijedno rešenje. Jedini broj čiji je kvadrat nula je nula, pa $x^2 = 0$ ima jedno rešenje, $x = 0$.
- Dva rešenja
- Suprotni brojevi imaju isti kvadrat: $0{,}8^2 = 0{,}64$ i $(-0{,}8)^2 = 0{,}64$. Zato jednačina $x^2 = 0{,}64$ ima dva rešenja, $x = 0{,}8$ i $x = -0{,}8$; skup rešenja pišemo $\{-0{,}8;\ 0{,}8\}$. Uopšte, ako je $a = b^2$ i $b \ne 0$, jednačina $x^2 = a$ ima rešenja $b$ i $-b$.
- Nema trećeg rešenja
- Iz prethodnog časa znamo: što je broj dalje od nule, to mu je kvadrat veći. Broj koji je bliži nuli od $0{,}8$ ima kvadrat manji od $0{,}64$, a broj koji je dalje od nule ima veći kvadrat. Zato su $0{,}8$ i $-0{,}8$ — jedina dva broja udaljena od nule tačno $0{,}8$ — i jedina rešenja.
- Jednačine koje se svode na x² = a
- Kad uz $x^2$ stoje i drugi brojevi, prvo ih „sklonimo“ kao u jednačinama iz 6. razreda, dok ne ostane samo $x^2$: $4x^2 - 9 = 27$, pa $4x^2 = 36$, pa $x^2 = 9$, i $x = 3$ ili $x = -3$. Isto i kad se $x^2$ deli: iz $\frac{x^2}{2} + 1 = 19$ sledi $\frac{x^2}{2} = 18$ i $x^2 = 36$. Ako se kvadrira zagrada, rešavamo za zagradu: iz $(x - 3)^2 = 16$ sledi $x - 3 = 4$ ili $x - 3 = -4$, tj. $x = 7$ ili $x = -1$. Rešenja proveravamo zamenom.
- Stranica kvadrata iz površine
- Kvadratna bašta ima površinu $30{,}25$ m². Njena stranica $s$ zadovoljava $s^2 = 30{,}25$, a rešenja te jednačine su $5{,}5$ i $-5{,}5$. Dužina ne može biti negativna, pa je stranica $5{,}5$ m. Kod zadataka iz života uvek proveri koja rešenja imaju smisla.
- Kada rešenje nije racionalan broj
- Probajmo $x^2 = 2$: $1{,}4^2 = 1{,}96$, $1{,}5^2 = 2{,}25$, $1{,}41^2 = 1{,}9881$, $1{,}42^2 = 2{,}0164$ — sve bliže, ali nikad tačno $2$. I nikad neće biti. Pretpostavimo da je rešenje racionalan broj $x = \frac{p}{q}$, zapisan kao nesvodljiv razlomak ($p$ ceo, $q$ prirodan broj). Tada $p$ i $q$ nemaju zajedničkih prostih činilaca, pa ih nemaju ni $p^2$ i $q^2$: i $x^2 = \frac{p^2}{q^2}$ je nesvodljiv razlomak. Nesvodljiv razlomak jednak je celom broju $2$ samo ako mu je imenilac $1$, tj. $q = 1$ — onda je $x = p$ ceo broj. Ali $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, a kvadrati ostalih celih brojeva su još veći, pa nijedan ceo broj na kvadrat nije $2$. Dakle, ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat $2$; takve brojeve upoznaćeš u sledećim časovima.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | dati racionalan broj | — |
| $b$ | broj čiji je kvadrat $a$ | — |
Ako je $a = b^2 > 0$, rešenja dolaze u paru suprotnih brojeva; $x^2 = 2$ nema racionalno rešenje.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $P$ | površina kvadrata | cm² |
| $s$ | stranica | cm |
Negativno rešenje odbacujemo: dužina je pozitivna.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko rešenja ima jednačina $x^2 = -16$?
2. Koliko rešenja ima jednačina $x^2 = 0$?
3. Koja su rešenja jednačine $x^2 = 121$?
4. Koja su rešenja jednačine $x^2 = \frac{9}{64}$?
5. Koja su rešenja jednačine $x^2 = 0{,}0049$?
6. Koji je skup rešenja jednačine $x^2 = 1{,}44$?
7. Kvadrat ima površinu $81$ cm². Kolika mu je stranica?
8. Postoji li racionalan broj čiji je kvadrat $2$?
9. Na koju jednačinu se svodi $3x^2 = 48$?
10. Za koje $a$ jednačina $x^2 = a$ ima tačno jedno rešenje?
Rešeni zadaci
Ivan je zamislio broj čiji je kvadrat $0{,}64$, a to nije $0{,}8$. Koji je broj zamislio?
-
$x^2 = 0{,}64$Zamišljeni broj označimo sa $x$.
-
$0{,}8^2 = 0{,}64$ i $(-0{,}8)^2 = 0{,}64$Suprotni brojevi imaju isti kvadrat; $8 \cdot 8 = 64$, dve decimale.
-
$x = 0{,}8$ ili $x = -0{,}8$Drugih rešenja nema.
-
$x = -0{,}8$Ivan je rekao da nije $0{,}8$.
Reši jednačinu $2x^2 - 7 = 43$ i proveri rešenja.
-
$2x^2 = 43 + 7 = 50$Nepoznati umanjenik: dodamo $7$ obema stranama.
-
$x^2 = 50 : 2 = 25$Nepoznati činilac: podelimo sa $2$.
-
$x = 5$ ili $x = -5$$5^2 = 25$ i $(-5)^2 = 25$.
-
$2 \cdot 25 - 7 = 43$Provera: za oba rešenja je $x^2 = 25$, pa leva strana iznosi $43$.
Reši jednačinu $(x - 2)^2 = 25$.
-
$x - 2 = 5$ ili $x - 2 = -5$Kvadrat zagrade je $25$, pa je zagrada $5$ ili $-5$.
-
$x = 7$ ili $x = -3$U obe jednačine dodamo $2$.
-
$(7 - 2)^2 = 5^2 = 25$, $\ (-3 - 2)^2 = (-5)^2 = 25$Provera zamenom.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Reši jednačinu $x^2 = 0{,}0289$. Upiši sva rešenja, odvojena znakom ; (npr. −0,5; 0,5 ili −4/9; 4/9).
Reši jednačinu $3x^2 - 16 = 92$. Upiši sva rešenja, odvojena znakom ; (npr. −2; 2).
Kvadratna pločica ima površinu $7{,}84$ dm². Kolika je njena stranica u centimetrima?
Koja od ovih jednačina ima tačno dva racionalna rešenja?
Koliko rešenja ima jednačina $(x + 4)^2 = 0$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 3. Kvadratni koren √a — koliko je √16?