Kvadrat racionalnog broja — da li kvadriranje uvek povećava broj?
Kvadrat racionalnog broja x² = x · x, kvadrat razlomka (brojilac i imenilac posebno) i decimalnog broja (dvaput više decimala), znak kvadrata (x² ≥ 0, (−x)² = x², −x² nije (−x)²), kada je x² manje, a kada veće od x, poređenje kvadrata pozitivnih i negativnih brojeva, površina kvadrata i jedinice.
Video
Pojmovi
- Kvadrat broja
- Kvadrat broja $x$ je proizvod $x \cdot x$; piše se $x^2$ i čita „$x$ na kvadrat“. Ime dolazi od površine: kvadrat stranice $a$ ima površinu $a^2$. Kod razlomka brojilac i imenilac kvadriramo posebno, jer razlomke množimo tako što pomnožimo brojioce i imenioce: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$. Zagrada je važna: $\frac{3^2}{5} = \frac{9}{5}$ je nešto drugo. Mešoviti broj prvo pretvorimo u razlomak: $\left(2\frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$ — ne kvadriramo posebno ceo deo i razlomak.
- Kvadrat decimalnog broja
- Decimalni broj kvadriramo kao da nema zapete, pa odvojimo dvaput više decimala nego što ih broj ima: $1{,}3^2 = 1{,}69$ ($13 \cdot 13 = 169$, dve decimale), $0{,}04^2 = 0{,}0016$ ($4 \cdot 4 = 16$, četiri decimale). Zato $0{,}4^2$ nije $0{,}8$ ni $1{,}6$, nego $0{,}16$. Isti broj u različitim zapisima ima isti kvadrat: $0{,}6^2 = 0{,}36 = \frac{9}{25} = \left(\frac{3}{5}\right)^2$.
- Znak kvadrata
- Proizvod dva broja istog znaka je pozitivan, pa je kvadrat svakog broja različitog od nule pozitivan: $(-7)^2 = 49$ i $7^2 = 49$. Jedino je $0^2 = 0$. Dakle, $x^2 \geq 0$ za svaki racionalan broj $x$, a suprotni brojevi imaju isti kvadrat. Pazi na zagradu: u $(-7)^2$ kvadrira se ceo broj $-7$, a u $-7^2$ samo $7$, pa je $-7^2 = -49$.
- Da li kvadriranje povećava broj?
- Iz 6. razreda znaš: kad pozitivan broj pomnožiš brojem većim od $1$, on se poveća, a kad ga pomnožiš brojem između $0$ i $1$, smanji se. Kod $x^2 = x \cdot x$ broj $x$ množimo samim sobom. Zato je za $x > 1$ kvadrat veći: $1{,}3^2 = 1{,}69 > 1{,}3$, a za $x$ između $0$ i $1$ manji: $0{,}8^2 = 0{,}64 < 0{,}8$ i $\left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49} < \frac{28}{49} = \frac{4}{7}$. Brojevi $0$ i $1$ jednaki su svojim kvadratima, a svaki negativan broj manji je od svog kvadrata, jer je kvadrat pozitivan.
- Poređenje kvadrata
- Od dva pozitivna broja veći ima veći kvadrat — veća pločica ima veću površinu. Kod negativnih brojeva je obrnuto: $-5 < -3$, a $(-5)^2 = 25 > 9 = (-3)^2$. Kvadrat zavisi samo od toga koliko je broj udaljen od nule, tj. od apsolutne vrednosti: što je $|x|$ veće, to je i $x^2$ veće. Zato iz jednakih kvadrata ne sledi da su brojevi jednaki: $(-3)^2 = 3^2$, a $-3 \ne 3$.
- Površina kvadrata i jedinice
- Površina kvadrata stranice $a$ je $P = a^2$. Jedinice moraju da se slažu: pločica stranice $0{,}6$ m ima površinu $0{,}36$ m²; ista stranica u decimetrima je $6$ dm, a površina $36$ dm² — isto, jer $1$ m² ima $100$ dm². Kad stranicu kvadrata udvostručimo, površina postane $(2a)^2 = 4a^2$, četiri puta veća.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x$ | racionalan broj | — |
| $p, q$ | celi brojevi, $q \ne 0$ | — |
Kvadrat decimalnog broja ima dvaput više decimala od samog broja.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x$ | racionalan broj | — |
Jedino je $0^2 = 0$; kvadrat svakog drugog broja je pozitivan.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | stranica kvadrata | cm |
| $P$ | površina | cm² |
Stranicu prvo izrazi u jedinici čiji kvadrat tražiš (cm → cm², dm → dm²).
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koji od ovih izraza ima vrednost $25$?
2. Koliko je $\left(-\frac{2}{9}\right)^2$?
3. Koliko je $0{,}9^2$?
4. Koliko decimala ima kvadrat broja $2{,}35$?
5. Za koji od ovih brojeva važi $x^2 < x$?
6. Koji pozitivan broj je jednak svom kvadratu?
7. Kvadrat kog pozitivnog broja je $0{,}0036$?
8. Kvadratna fotografija ima stranicu $1{,}4$ dm. Kolika je njena površina?
9. Može li kvadrat racionalnog broja biti negativan broj?
10. Kako se menja površina kvadrata kad mu stranicu udvostručimo?
Rešeni zadaci
Izračunaj: a) $\left(-\frac{5}{8}\right)^2$; b) $(-1{,}2)^2$; c) $-1{,}2^2$.
-
a) $\left(-\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{(-5) \cdot (-5)}{8 \cdot 8} = \frac{25}{64}$Brojilac i imenilac kvadriramo posebno; minus puta minus je plus.
-
b) $(-1{,}2)^2 = (-1{,}2) \cdot (-1{,}2) = 1{,}44$Zagrada kaže da se kvadrira ceo broj $-1{,}2$, zajedno sa minusom. $12 \cdot 12 = 144$, a decimale su dve.
-
c) $-1{,}2^2 = -(1{,}2 \cdot 1{,}2) = -1{,}44$Bez zagrade se kvadrira samo $1{,}2$, a minus ostaje ispred.
Poređaj od najmanjeg do najvećeg: $-2{,}1$; $0{,}7$; $0{,}7^2$; $(-2{,}1)^2$.
-
$(-2{,}1)^2 = 4{,}41$Kvadrat negativnog broja je pozitivan, pa je $-2{,}1$ manji od svog kvadrata — i od svih ostalih brojeva.
-
$0{,}7^2 = 0{,}49 < 0{,}7$$0{,}7$ je između $0$ i $1$, pa je njegov kvadrat manji od njega.
-
$-2{,}1 < 0{,}49 < 0{,}7 < 4{,}41$Negativan broj je najmanji, a od pozitivnih je najveći $4{,}41$.
Pod sobe je kvadrat stranice $3{,}6$ m, a pločice su kvadrati stranice $0{,}6$ m. Kolika je površina jedne pločice i koliko pločica treba za ceo pod?
-
$P_1 = 0{,}6^2 = 0{,}36$ m²$6 \cdot 6 = 36$, dve decimale. To je manje od $0{,}6$: kvadrat broja između $0$ i $1$ manji je od njega.
-
$P = 3{,}6^2 = 12{,}96$ m²Površina celog poda.
-
$12{,}96 : 0{,}36 = 36$Provera bez površina: uz jedan zid stane $3{,}6 : 0{,}6 = 6$ pločica, a $6^2 = 36$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Izračunaj $\left(-0{,}08\right)^2$. (Odgovor kao decimalni broj, npr. −0,49.)
Kvadratna markica ima stranicu 25 mm. Kolika je njena površina u cm²?
Za koliko se razlikuju broj $1{,}8$ i njegov kvadrat?
Koliko je $\left(1\frac{2}{5}\right)^2$?
Brojevi $a$ i $b$ su negativni i $a < b$. Šta važi za njihove kvadrate?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 2. Rešavanje jednačine x² = a — koji je broj Ivan zamislio?