Površina trapeza — koliko šperploče ide na bočnu stranu rampe?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Dva ista trapeza čine paralelogram

Neka je $ABCD$ trapez sa osnovicama $AB = a$ i $CD = b$ i visinom $h$, i neka je $K$ središte kraka $BC$. Napravimo podudaran trapez i okrenemo ga za pola kruga oko tačke $K$ (centralna simetrija sa centrom $K$). Tada $B$ i $C$ zamene mesta, $A$ pređe u tačku $A_1$, a $D$ u tačku $D_1$. Centralna simetrija prevodi pravu u njoj paralelnu pravu, pa prava $CD$ prelazi u pravu kroz $B$ paralelnu sa $CD$ — a to je baš prava $AB$. Centar $K$ je na pravoj $BC$, a centralna simetrija sa centrom na pravoj prebacuje svaku tačku van te prave na njenu drugu stranu: trapez je s jedne strane prave $BC$, a kopija s druge. Zato $D_1$ ne pada između $A$ i $B$, nego iza temena $B$: tačke $A$, $B$ i $D_1$ su redom na istoj pravoj, $BD_1 = CD = b$ i $AD_1 = a + b$. Isto tako je gore $CA_1 = BA = a$, pa je $DA_1 = b + a$. Četvorougao $AD_1A_1D$ ima dve naspramne stranice paralelne i jednake, pa je paralelogram, a visina mu je $h$. Njegova površina je $(a + b) \cdot h$, a čine ga dva podudarna trapeza bez p

Srednja linija i površina

Količnik $\dfrac{a + b}{2}$ već poznajemo: to je srednja linija trapeza $m$, duž koja spaja središta krakova. Zato površinu pišemo i kraće: $P = m \cdot h$ — trapez ima istu površinu kao pravougaonik sa stranicama $m$ i $h$. Na primer, trapez sa osnovicama $11$ cm i $5$ cm i visinom $4$ cm ima $m = 8$ cm i $P = 8 \cdot 4 = 32$ cm². Pošto je $m$ između $b$ i $a$, i površina je između $b \cdot h$ i $a \cdot h$: pravougaonik nad dužom osnovicom je prevelik, a nad kraćom premali. Osnovice i visina moraju da budu u istoj jedinici; tada je površina u odgovarajućoj kvadratnoj jedinici.

Dijagonala deli trapez na dva trougla

Do iste formule vodi i dijagonala $AC$: ona deli trapez na trouglove $ABC$ i $ACD$, koji se ne preklapaju. Trougao $ABC$ ima osnovicu $AB = a$, a visina iz $C$ na pravu $AB$ je rastojanje između osnovica, $h$. Trougao $ACD$ ima osnovicu $CD = b$, a visina iz $A$ na pravu $CD$ je opet $h$. Zbir njihovih površina je $\dfrac{a \cdot h}{2} + \dfrac{b \cdot h}{2} = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}$, isto kao gore. Zato je trougao uz dužu osnovicu onoliko puta veći od trougla uz kraću koliko je puta duža osnovica $a$ od osnovice $b$.

Visina, kraci i pravougli trapez

U formulu ulaze samo osnovice i visina. Kraci su potrebni za obim, ali ne i za površinu: visina je rastojanje između pravih na kojima leže osnovice, a kosi krak je duži od visine, jer je hipotenuza pravouglog trougla čija je jedna kateta visina. Kod pravouglog trapeza krak normalan na osnovice jeste visina, pa je $P = \dfrac{a + b}{2} \cdot d$, gde je $d$ taj krak. Zato je kod pravouglog trapeza krak normalan na osnovice uvek kraći od drugog kraka.

Jednakokraki trapez i podnožje visine

Spustimo u jednakokrakom trapezu $ABCD$ visine $DE$ i $CF$ na dužu osnovicu. Iz časa o trapezu znamo da je $AE = FB$ i $EF = CD = b$, pa podnožja odsecaju sa obe strane po $AE = \dfrac{a - b}{2}$. Zato iz duže osnovice i dužine $AE$ dobijamo kraću: $b = a - 2 \cdot AE$. Ostatak duže osnovice od podnožja $E$ do temena $B$ je $EB = b + \dfrac{a - b}{2} = \dfrac{a + b}{2} = m$, pa je i $P = EB \cdot h$.

Obrnuti zadaci

Iz $P = m \cdot h$ dobijamo visinu kad znamo površinu i osnovice: $h = P : m$. Trapez površine $63$ cm² sa osnovicama $11$ cm i $7$ cm ima $m = 9$ cm, pa je $h = 63 : 9 = 7$ cm. Kad znamo površinu i visinu, dobijamo zbir osnovica: dvostruka površina je $(a + b) \cdot h$, pa je $a + b = 2P : h$. Tako za isti trapez iz $P = 63$ cm², $h = 7$ cm i $a = 11$ cm dobijamo $a + b = 126 : 7 = 18$ cm i $b = 18 - 11 = 7$ cm. Same osnovice ne možemo da nađemo iz površine i visine: svi trapezi sa istim zbirom osnovica i istom visinom imaju istu površinu.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.