Površina trougla — koliko platna treba za jedro?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Dva ista trougla daju paralelogram

Uzmimo trougao $ABC$ sa stranicom $a = BC$ i visinom $h_a$ (to je duž iz temena $A$ normalna na pravu $BC$). Napravimo još jedan isti trougao i okrenimo ga za pola kruga oko središta $N$ stranice $AC$: teme $A$ dolazi u $C$, teme $C$ u $A$, a teme $B$ u novu tačku $B_1$. Duži $AC$ i $BB_1$ imaju zajedničko središte $N$, pa je $ABCB_1$ četvorougao čije se dijagonale polove — paralelogram. Njegova stranica je $BC = a$, a naspramna stranica $B_1A$ leži na pravoj kroz $A$ paralelnoj sa $BC$, pa je visina paralelograma na stranicu $a$ baš $h_a$. Paralelogram ima površinu $a \cdot h_a$ i sastavljen je, bez preklapanja, od dva podudarna trougla, pa je površina trougla $P = \frac{a \cdot h_a}{2}$.

Tri stranice, tri visine

Trougao ima tri visine: $h_a$ iz temena $A$ na pravu $BC$, $h_b$ iz temena $B$ na pravu $CA$ i $h_c$ iz temena $C$ na pravu $AB$. Isto razmišljanje sa bilo kojom stranicom daje $P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2}$ — stranicu uvek množimo visinom spuštenom baš na nju. Površina je jedna, pa su sva tri proizvoda jednaka dvostrukoj površini: $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c = 2P$. Kad znamo površinu, dobijamo bilo koju visinu: $h_b = 2P : b$. Što je stranica duža, visina na nju je kraća, jer proizvod ostaje isti: na najdužu stranicu pada najkraća visina.

Pravougli trougao

Neka je u trouglu $ABC$ prav ugao kod temena $C$: katete su $a = BC$ i $b = CA$, a hipotenuza $c = AB$. Katete su normalne jedna na drugu, pa je visina na katetu $a$ baš kateta $b$, a visina na katetu $b$ kateta $a$. Zato je $P = \frac{a \cdot b}{2}$ — trougao je polovina pravougaonika sa stranicama $a$ i $b$, koji dijagonala deli na dva podudarna trougla. Treća visina, $h_c$, spuštena je iz temena pravog ugla na hipotenuzu. Iz $c \cdot h_c = a \cdot b$ dobijamo $h_c = a \cdot b : c$ — tako računamo koliko je teme pravog ugla udaljeno od hipotenuze.

Tupougli trougao

Neka je u trouglu $ABC$ ugao kod temena $B$ tup. Visina iz $B$ je unutar trougla, a visine iz temena oštrih uglova, $A$ i $C$, padaju van njega: podnožje je na produžetku stranice, kao u času o konstrukcijama. Formula i tada važi, jer je visina rastojanje temena od PRAVE na kojoj leži stranica, a dva ista trougla i tada čine paralelogram sa tom stranicom i tom visinom. Proverimo i drugačije: neka je $D$ podnožje visine $h_c$, na produžetku stranice $AB$ preko temena $B$. Pravougli trougao $ADC$ sastoji se od trougla $ABC$ i pravouglog trougla $BDC$, pa je $P = \frac{AD \cdot h_c}{2} - \frac{BD \cdot h_c}{2} = \frac{(AD - BD) \cdot h_c}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2}$, jer je $AD - BD = AB = c$.

Trougao na kvadratnoj mreži

Kad su temena trougla u čvorovima kvadratne mreže (u koordinatnom sistemu: kad imaju cele koordinate), a jedna stranica ide po liniji mreže, njenu dužinu i visinu na nju samo prebrojimo. Visina je broj kvadratića od trećeg temena do prave te stranice — i onda kad podnožje padne van stranice. Na primer, osnovica od $7$ kvadratića i treće teme $4$ kvadratića iznad prave osnovice daju $7 \cdot 4 : 2 = 14$ kvadratića. Ako nijedna stranica ne ide po liniji mreže, trougao uokvirimo najmanjim pravougaonikom po linijama mreže, pa od površine okvira oduzmemo delove okvira van trougla. Kad je jedno teme u uglu okvira, a druga dva na njegovim ivicama, ti delovi su tri pravougla trougla čije katete idu po linijama mreže; ako je neki deo složeniji, podelimo ga na pravougle trouglove i pravougaonike.

Jedinice i deljenje sa dva

Stranica i visina moraju biti u istoj jedinici, a površina je tada u odgovarajućoj kvadratnoj jedinici. Trougao sa osnovicom $1{,}5$ m i visinom $80$ cm: $80$ cm $= 0{,}8$ m, pa je $P = 1{,}5 \cdot 0{,}8 : 2 = 0{,}6$ m². U centimetrima: $150 \cdot 80 : 2 = 6\,000$ cm², a to je isto $0{,}6$ m², jer $1$ m² ima $10\,000$ cm². Ne zaboravi deljenje sa $2$: proizvod $a \cdot h_a$ je površina paralelograma, a trougao je njegova polovina.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.