Površina četvorougla sa normalnim dijagonalama — koliko zemlje ima Ninina leja?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Ninina leja

Konopci su $EG = 6$ m i $FH = 4$ m i seku se u tački $O$ pod pravim uglom: $EO = 2$ m, $OG = 4$ m, $FO = 1{,}5$ m i $OH = 2{,}5$ m. Kočići $E$, $F$, $G$, $H$ su temena leje, pa je leja četvorougao $EFGH$, a konopci su njegove dijagonale. Kažemo da su dijagonale normalne i pišemo $EG \perp FH$. Nijedna dijagonala ne polovi drugu, pa leja nije ni romb ni deltoid, a stranice su joj sve različite. U ovom času, kao i u celoj celini, četvorougao je konveksan: dijagonale se seku unutar obe duži.

Dva trougla na zajedničkoj osnovici

Dijagonala $EG = d_1$ deli četvorougao na trouglove $EFG$ i $EGH$, i oba imaju osnovicu $EG$. Pošto je $FH \perp EG$, duž $FO$ je normalna na $EG$ — to je visina trougla $EFG$ na osnovicu $EG$; isto tako je $OH$ visina trougla $EGH$. Zato je $P = \frac{d_1 \cdot FO}{2} + \frac{d_1 \cdot OH}{2} = \frac{d_1 \cdot (FO + OH)}{2}$, a $FO + OH = FH = d_2$. Dakle, $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$: površina je polovina proizvoda dijagonala. Za leju: $\frac{6 \cdot 1{,}5}{2} + \frac{6 \cdot 2{,}5}{2} = 4{,}5 + 7{,}5 = 12$ m², a to je baš $\frac{6 \cdot 4}{2}$.

Gde god da se seku

U izvođenju nismo koristili gde tačno leži tačka $O$, nego samo da je $FO + OH = FH$. Ako deda pomeri mesto preseka (konopci ostaju normalni, a presek ostaje unutar oba konopca), leja menja oblik i dužine stranica, ali površina ostaje $12$ m². Za površinu su važne samo dužine dijagonala i to da su normalne. Zato četvorouglovi sasvim različitog izgleda mogu da imaju jednake površine.

Uslov: dijagonale moraju biti normalne

Ako konopci od $6$ m i $4$ m nisu pod pravim uglom, delovi $FO$ i $OH$ više nisu visine trouglova. Visina $h_F$ iz $F$ je normala na pravu $EG$, a $FO$ je kosa duž iz iste tačke. Visina, $FO$ i deo prave $EG$ grade pravougli trougao u kome je $FO$ naspram pravog ugla, najvećeg ugla trougla, pa je $FO$ njegova najduža stranica: $h_F < FO$. Isto tako je visina $h_H$ iz $H$ kraća od $OH$. Površina je i dalje $\frac{6 \cdot h_F}{2} + \frac{6 \cdot h_H}{2} = \frac{6 \cdot (h_F + h_H)}{2}$, ali je $h_F + h_H < FO + OH = 4$ m, pa je površina manja od $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ m² i formula ne važi. Pravougaonik koji nije kvadrat i paralelogram koji nije romb nemaju normalne dijagonale — za njih računamo $P = a \cdot b$, odnosno $P = a \cdot h_a$.

Romb, kvadrat, deltoid i drugi

Iz časova o četvorouglu znamo da su dijagonale romba normalne, pa i dijagonale kvadrata (kvadrat je romb), a normalne su i dijagonale deltoida. Zato za sve njih važi $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$: deltoid sa dijagonalama $11$ cm i $6$ cm ima površinu $\frac{11 \cdot 6}{2} = 33$ cm². Formula važi i za četvorouglove koji nisu ni romb ni deltoid, kao što je Ninina leja — dovoljno je da su dijagonale normalne. Iz površine i jedne dijagonale nalazimo drugu: $d_1 \cdot d_2 = 2P$, pa je $d_2 = 2P : d_1$.

Visina romba

Romb je paralelogram, pa mu je površina i stranica puta visina: $P = a \cdot h$. Isti romb ima jednu površinu, pa je $a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$. Kad znamo dijagonale i stranicu, visinu nalazimo ovako: romb sa dijagonalama $9$ cm i $12$ cm ima $P = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54$ cm²; ako mu je stranica $7{,}5$ cm, visina je $h = 54 : 7{,}5 = 7{,}2$ cm. Stranica romba zavisi od dijagonala, ali kako se računa iz njih, učićeš u sedmom razredu — zato je u zadacima ovde uvek data.

Površina kvadrata iz dijagonale

Kvadrat ima jednake i normalne dijagonale, pa je $d_1 = d_2 = d$ i $P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}$. Stranicu pri tome ne moramo da znamo. Kvadrat čija je dijagonala $10$ cm ima površinu $\frac{10 \cdot 10}{2} = 50$ cm².

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.