Površina paralelograma — da li je kosi komad baklave veći?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Iseci i premesti

Paralelogram $ABCD$ ima stranicu $AB = a$, a $h_a$ je visina na nju. Neka podnožje $E$ visine iz temena $D$ padne na stranicu $AB$. Duž $DE$ deli paralelogram na pravougli trougao $AED$ i ostatak $EBCD$. Pomerimo trougao $AED$ translacijom za vektor $\overrightarrow{AB}$, tj. za dužinu $a$ u smeru od $A$ ka $B$: teme $A$ dolazi u $B$, teme $D$ u $C$ (jer je $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$), a tačka $E$ u tačku $E_1$ na pravoj $AB$. Translacija ne menja uglove, pa je i ugao kod $E_1$ prav. Trougao sada leži sa druge strane stranice $BC$ i sa ostatkom gradi pravougaonik $EE_1CD$. Ništa nismo dodali ni bacili, a delovi se ne preklapaju, pa paralelogram i pravougaonik imaju istu površinu. Pravougaonik ima stranice $EE_1 = DC = a$ i $DE = h_a$, zato je površina paralelograma $P = a \cdot h_a$.

Kad podnožje padne van stranice

Kod jako nagnutog paralelograma podnožje visine iz $D$ padne na produžetak stranice $AB$, pa jedan rez nije dovoljan — formula ipak važi. Neka je paralelogram nagnut udesno, neka je $E$ podnožje normale iz $D$, a $E_1$ podnožje normale iz $C$ na pravu $AB$. Kad paralelogramu $ABCD$ dodamo pravougli trougao $BE_1C$, dobijamo figuru $AE_1CD$. Istu figuru dobijamo kad pravougaoniku $EE_1CD$ dodamo trougao $AED$. Trouglovi $AED$ i $BE_1C$ su podudarni — translacija za $\overrightarrow{AB}$ prevodi jedan u drugi — pa imaju jednake površine. Kad od iste figure oduzmemo jednake delove, ostaju jednake površine: paralelogram ima površinu pravougaonika $EE_1CD$, a to je $a \cdot h_a$. Ovo razmišljanje važi i kad $E$ padne na samu stranicu $AB$; za paralelogram nagnut ulevo radimo isto sa druge strane.

Druga stranica, druga visina

Za osnovicu možemo uzeti i stranicu $b = BC$. Tada nam treba visina $h_b$ — rastojanje između pravih $BC$ i $AD$. Isto premeštanje, sa paralelogramom okrenutim tako da $BC$ bude dole, daje $P = b \cdot h_b$. Površina je jedna, pa je $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Kad znamo površinu, nalazimo bilo koju visinu ($h_b = P : b$) ili stranicu ($a = P : h_a$). Uz dužu stranicu ide kraća visina: ako je $a > b$, onda je $h_a < h_b$. Pazi da stranicu množiš visinom koja je spuštena baš na nju: ako je $a \ne b$, proizvod $a \cdot h_b$ nije površina.

Kosa stranica ne ulazi u račun

Visina $DE$ i stranica $AD$ spajaju istu tačku $D$ sa pravom $AB$, ali visina je normalna na tu pravu, a stranica nije. Kad paralelogram nije pravougaonik, $AED$ je pravougli trougao: $AD$ je u njemu hipotenuza (naspram pravog ugla, najvećeg ugla trougla), a $DE$ kateta, pa je $h_a < b$ i zato $a \cdot h_a < a \cdot b$: paralelogram koji nije pravougaonik ima manju površinu od pravougaonika sa istim stranicama. Kod pravougaonika je visina na stranicu $a$ baš stranica $b$, pa formula $a \cdot h_a$ postaje $a \cdot b$ iz prethodnog časa. Paralelogrami sa istom stranicom $a$ i istom visinom $h_a$ imaju istu površinu, ma koliko bili nagnuti.

Površina romba

Romb je paralelogram čije su sve četiri stranice jednake, pa i za njega važi $P = a \cdot h_a = a \cdot h_b$. Kad obe strane te jednakosti podelimo sa $a$, dobijamo $h_a = h_b$: obe visine romba su jednake i pišemo samo $h$. Površina romba je $P = a \cdot h$. Što je romb više „spljošten“, to mu je visina manja, pa i površina, iako mu se stranice ne menjaju.

Jedinice

Stranica i visina moraju da budu izražene u istoj jedinici; površina je tada u odgovarajućoj kvadratnoj jedinici: $\mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm} = \mathrm{cm}^2$, $\mathrm{m} \cdot \mathrm{m} = \mathrm{m}^2$. Ako je stranica $1{,}5$ m, a visina na nju $30$ cm, prvo pišemo $30$ cm $= 0{,}3$ m, pa je $P = 1{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}45$ m². Isto dobijamo u centimetrima: $150 \cdot 30 = 4\,500$ cm², a $1$ m² ima $10\,000$ cm².

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.