Površina pravougaonika i kvadrata — koliko krpica treba za bakin prekrivač?
Površina pravougaonika P = a · b (redovi jediničnih kvadrata), površina kvadrata P = a · a = a², stranice u istoj jedinici, stranica iz površine i iz obima, površina složene figure rastavljanjem i dopunjavanjem, razlika obima i površine, pokrivanje pločicama i kupovina celih pakovanja.
Video
Pojmovi
- Zašto se stranice množe
- Površina pokazuje koliko jediničnih kvadrata staje u figuru. Pravougaonik sa stranicama $7$ cm i $3$ cm podelimo na kvadratiće stranice $1$ cm: uz dužu stranicu u jedan red stane $7$ kvadratića, a takvih redova ima $3$. Kvadratića je $3 \cdot 7 = 21$, pa je površina $21\ \mathrm{cm^2}$. Zato ih ne brojimo jedan po jedan, nego množimo broj kvadratića u redu brojem redova.
- Površina pravougaonika
- Pravougaonik čije su stranice dužine $a$ i $b$ ima površinu $P = a \cdot b$. Pravilo važi i kada dužine nisu prirodni brojevi: pravougaonik $2{,}5$ m $\times$ $4$ m ima površinu $2{,}5 \cdot 4 = 10\ \mathrm{m^2}$. Stranice su dužine (cm, m), a površina je u kvadratnim jedinicama ($\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{m^2}$).
- Površina kvadrata
- Kvadrat je pravougaonik čije su sve stranice jednake, pa je $P = a \cdot a$. Proizvod broja sa samim sobom zove se kvadrat broja i piše se $a^2$ (čita se „$a$ na kvadrat“), pa je $P = a^2$. Kvadrat stranice $11$ cm ima površinu $11^2 = 121\ \mathrm{cm^2}$. Pazi: $a^2$ znači $a \cdot a$, a ne $2 \cdot a$.
- Iste jedinice
- Pre množenja obe stranice izrazimo u istoj jedinici. Polica dugačka $1{,}2$ m i duboka $35$ cm: $1{,}2$ m $= 120$ cm, pa je $P = 120 \cdot 35 = 4\,200\ \mathrm{cm^2}$. Da smo pomnožili $1{,}2 \cdot 35$, dobili bismo $42$ — broj bez smisla, jer nisu ni kvadratni metri ni kvadratni centimetri.
- Obrnuti zadaci
- Ako znamo površinu i jednu stranicu pravougaonika, drugu dobijamo deljenjem: $b = P : a$ (za $P = 54\ \mathrm{cm^2}$ i $a = 9$ cm, $b = 6$ cm). Za kvadrat poznate površine tražimo broj koji pomnožen sam sobom daje površinu: kod $169\ \mathrm{cm^2}$ to je $13$, jer je $13 \cdot 13 = 169$. Iz obima: kvadrat ima stranicu $a = O : 4$, a kod pravougaonika je $a + b = O : 2$ — polovina obima je zbir dve susedne stranice.
- Složene figure
- Figuru sastavljenu od pravougaonika možemo rastaviti na pravougaonike koji se ne preklapaju i sabrati njihove površine. Ponekad je lakše dopuniti je do jednog velikog pravougaonika i od njegove površine oduzeti dopunjeni deo. Ako se dva dela preklapaju, preklopljeni deo je u zbiru uračunat dva puta, pa ga jednom oduzmemo.
- Obim ili površina
- Obim je dužina ivice (traka za porub, ograda, lajsna) i meri se u cm ili m; površina je ono što je unutra (krpice, pločice, farba) i meri se u $\mathrm{cm^2}$ ili $\mathrm{m^2}$. Figure iste površine mogu imati različite obime: pravougaonici $1 \times 36$, $4 \times 9$ i $6 \times 6$ (u cm) imaju po $36\ \mathrm{cm^2}$, a obime $74$, $26$ i $24$ cm. Kod kupovine farbe ili semena delimo površinu onim što pokriva jedno pakovanje i zaokružujemo NAVIŠE, jer se kupuju cela pakovanja.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | dužine stranica pravougaonika (u istoj jedinici) | cm |
| $P$ | površina | $\mathrm{cm^2}$ |
Ako su stranice u metrima, površina je u kvadratnim metrima.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | dužina stranice kvadrata | cm |
| $P$ | površina | $\mathrm{cm^2}$ |
$a^2$ je $a \cdot a$, a ne $2 \cdot a$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | obim — dužina ivice | cm |
Obim je dužina, pa je u cm ili m, a ne u kvadratnim jedinicama.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | poznata stranica | cm |
| $b$ | tražena stranica | cm |
Kod kvadrata tražimo broj koji pomnožen sam sobom daje površinu.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kolika je površina pravougaonika sa stranicama $8$ cm i $6$ cm?
2. Kolika je površina kvadrata stranice $9$ dm?
3. Šta znači zapis $a^2$?
4. Stranice pravougaonika izražene su u decimetrima. U kojoj jedinici je njegova površina?
5. Kvadrat ima površinu $64\ \mathrm{cm^2}$. Kolika mu je stranica?
6. Dužinu pravougaonika povećamo $2$ puta, a širinu smanjimo $2$ puta. Šta se desi sa površinom?
7. Uz jednu stranicu kvadrata stranice $4$ cm priljubljen je pravougaonik $4$ cm $\times$ $2$ cm. Kolika je površina cele figure?
8. Iz pravougaonog kartona isečen je manji pravougaonik. Kako računamo površinu ostatka?
9. Pravougaonik $6$ cm $\times$ $4$ cm presečen je jednom duži na dva pravougaonika. Koliki je zbir njihovih površina?
10. Moraju li dva pravougaonika jednakih površina imati jednake obime?
Rešeni zadaci
Garsonjera je pravougaonik $7$ m $\times$ $6$ m, ali je u jednom njenom uglu odvojeno kupatilo oblika pravougaonika $2{,}5$ m $\times$ $2$ m (strana od $2{,}5$ m je uz zid od $7$ m). Ostatak garsonjere ima oblik slova L. Koliko kvadratnih metara laminata treba za taj ostatak?
-
$7 \cdot 6 = 42$, $2{,}5 \cdot 2 = 5$Dopunjavanje: površina cele garsonjere i površina kupatila.
-
$42 - 5 = 37$Od cele garsonjere oduzmemo kupatilo.
-
Provera rastavljanjem: $7 \cdot 4 + 4{,}5 \cdot 2 = 28 + 9 = 37$Uz zid od $7$ m naspram kupatila je traka dugačka $7$ m i široka $6 - 2 = 4$ m; pored kupatila ostaje pravougaonik dugačak $7 - 2{,}5 = 4{,}5$ m i širok $2$ m. Oba načina daju isto.
Travnjak ima oblik pravougaonika obima $38$ m, a dužina mu je $12$ m. Jedna kesica semena trave dovoljna je za $8\ \mathrm{m^2}$. Koliko kesica treba kupiti?
-
$a + b = 38 : 2 = 19$Polovina obima je zbir dužine i širine.
-
$b = 19 - 12 = 7$Širina travnjaka je $7$ m.
-
$P = 12 \cdot 7 = 84$Površina travnjaka je $84\ \mathrm{m^2}$.
-
$10 \cdot 8 = 80$, $11 \cdot 8 = 88$Sa $10$ kesica pokrivamo samo $80\ \mathrm{m^2}$, a treba $84\ \mathrm{m^2}$, pa kupujemo $11$ kesica.
Kvadratni tepih ima površinu $625\ \mathrm{dm^2}$. Duž dve naspramne ivice tepiha ušivaju se rese. Koliko metara resa treba?
-
$24 \cdot 24 = 576$, $25 \cdot 25 = 625$Tražimo broj koji pomnožen sam sobom daje $625$: $24$ daje premalo, $25$ tačno.
-
$a = 25$ dmStranica tepiha.
-
$2 \cdot 25 = 50$ dm $= 5$ mRese idu samo duž dve ivice, a ne oko celog tepiha.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Na podu leže dva pravougaona tepiha: prvi je $3{,}4$ m $\times$ $1{,}2$ m, a drugi $1{,}3$ m $\times$ $0{,}9$ m. Ugao drugog tepiha prelazi preko ugla prvog, pa se tepisi preklapaju u pravougaoniku $0{,}4$ m $\times$ $0{,}3$ m. Koliko kvadratnih metara poda pokrivaju tepisi zajedno?
Ploča stola ima oblik pravougaonika površine $78$ dm², a dužina ploče je $13$ dm. Duž cele ivice ploče lepi se zaštitna traka. Koliko decimetara trake treba?
Pod terase je pravougaonik $3{,}6$ m $\times$ $3{,}2$ m. Pokriva se kvadratnim pločicama stranice $40$ cm, bez sečenja i bez razmaka. Pločice se prodaju u kutijama po $8$ komada. Koliko kutija treba kupiti?
Zid sobe je dugačak $5{,}1$ m i visok $2{,}7$ m, a na njemu je prozor $160$ cm $\times$ $100$ cm. Zid se farba u dva sloja, a prozor se ne farba. Jedna kantica farbe dovoljna je za $8$ m² jednim slojem. Koliko kantica treba kupiti?
Koji od ovih pravougaonih komada tkanine ima NAJVEĆU površinu?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 45. Površina paralelograma — da li je kosi komad baklave veći?