Pojam površine. Merenje površine — ima li Minin trougao više kartona od kvadrata?
Površ i površina, merenje površine jediničnim kvadratom i kvadratnom mrežom (celi kvadratići i polovine), podudarne figure imaju jednake površine, jednakopovršne figure i figure složene od istih delova (razloživo jednake), površina figure je zbir površina njenih delova, jedinice mm², cm², dm², m², ar, hektar i km² i pretvaranje (svaka sledeća jedinica je 100 puta veća).
Video
Pojmovi
- Površ i površina
- Zatvorena linija (na primer stranice trougla ili kružnica), zajedno sa delom ravni koji ograničava, čini površ. Površina je broj sa jedinicom koji kaže koliko je ta površ velika, i obeležavamo je slovom $P$. Ne mešaj je sa obimom: obim je dužina same linije oko figure i meri se u centimetrima ili metrima, a površina meri ono što je unutar linije. Kad kažemo „površina trougla“, mislimo na površinu površi koju trougao ograničava.
- Merenje kvadratićima
- Izmeriti površinu znači utvrditi koliko puta jedinica mere stane u figuru. Za jedinicu uzimamo kvadrat — na kvadratnoj mreži jedan kvadratić. Ako figura pokriva $7$ celih kvadratića i još dva kvadratića presečena po dijagonali (od svakog pokriva polovinu), njena površina je $7 + 1 = 8$ kvadratića, jer dve polovine zajedno čine jedan ceo kvadratić. Broj zavisi od izabrane jedinice: ako je stranica kvadratića $1$ cm, figura ima $8$ jedinica, a izmerena kvadratićima stranice $5$ mm ima ih $32$, jer u kvadratić od $1$ cm stanu $2 \cdot 2 = 4$ takva.
- Podudarne figure
- Dve figure su podudarne ako se mogu postaviti tako da jedna potpuno prekrije drugu. Tada u obe stane isti broj jedinica, pa podudarne figure imaju jednake površine. Na primer, dijagonala deli pravougaonik od $3$ reda po $5$ kvadratića na dva podudarna trougla (kad jedan okrenemo za pola kruga, tačno prekrije drugi), pa svaki ima polovinu od $15$, to jest $7{,}5$ kvadratića. Obrnuto ne važi: figure sa jednakim površinama ne moraju biti podudarne.
- Zbir delova
- Ako figuru podelimo na delove koji se ne preklapaju i zajedno je pokrivaju celu, njena površina jednaka je zbiru površina delova: $P = P_1 + P_2 + \ldots$. Zato iz figure možemo i da oduzimamo: kad iz kartona isečemo deo, ostatku je površina manja tačno za površinu isečenog dela. Tako merimo i figure koje nisu sastavljene samo od celih kvadratića — podelimo ih na delove čije površine znamo, pa saberemo.
- Jednakopovršne figure
- Figure koje imaju jednake površine zovu se jednakopovršne. Ako jednu figuru isečemo na delove i od istih delova, bez preklapanja i bez praznina, složimo drugu figuru, kažemo da su figure razloživo jednake — one su sigurno i jednakopovršne, jer se svaki deo samo premestio. Oblik i obim pri tome mogu da se promene, površina ne može. Zato Minin veliki trougao ima tačno onoliko kartona koliko i kvadrat od koga je napravljen.
- Jedinice za površinu
- Osnovna jedinica za površinu je kvadratni metar ($\mathrm{m^2}$) — površina kvadrata čija je stranica $1$ m. Manje jedinice su kvadratni decimetar ($\mathrm{dm^2}$), kvadratni centimetar ($\mathrm{cm^2}$) i kvadratni milimetar ($\mathrm{mm^2}$) — površine kvadrata stranica $1$ dm, $1$ cm i $1$ mm. Kvadrat stranice $1$ cm podelimo na $10$ redova po $10$ kvadrata stranice $1$ mm, pa je $1\ \mathrm{cm^2} = 100\ \mathrm{mm^2}$; isto tako je $1\ \mathrm{dm^2} = 100\ \mathrm{cm^2}$ i $1\ \mathrm{m^2} = 100\ \mathrm{dm^2}$. Za dužinu je korak između susednih jedinica $10$, a za površinu $10 \cdot 10 = 100$.
- Ar, hektar, kvadratni kilometar i pretvaranje
- Za placeve, njive i šume koristimo ar ($\mathrm{a}$) — kvadrat stranice $10$ m, pa je $1\ \mathrm{a} = 100\ \mathrm{m^2}$ — i hektar ($\mathrm{ha}$) — kvadrat stranice $100$ m, pa je $1\ \mathrm{ha} = 100\ \mathrm{a} = 10\,000\ \mathrm{m^2}$; za gradove i države kvadratni kilometar: $1\ \mathrm{km^2} = 100\ \mathrm{ha}$. U nizu $\mathrm{mm^2}$, $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{dm^2}$, $\mathrm{m^2}$, $\mathrm{a}$, $\mathrm{ha}$, $\mathrm{km^2}$ svaka jedinica je $100$ puta veća od prethodne: kad prelazimo u manju jedinicu, množimo sa $100$ za svaki korak, a kad prelazimo u veću — delimo sa $100$. Pazi na nule: $5\ \mathrm{m^2}\ 8\ \mathrm{dm^2} = 500\ \mathrm{dm^2} + 8\ \mathrm{dm^2} = 508\ \mathrm{dm^2}$, a ne $58\ \mathrm{dm^2}$. Decimalni broj pretvaramo isto: $0{,}6\ \mathrm{ha} = 60\ \mathrm{a} = 6\,000\ \mathrm{m^2}$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\mathrm{mm^2}, \mathrm{cm^2}, | površine kvadrata stranica 1 mm, 1 cm, 1 dm i 1 m | — |
Korak je $10 \cdot 10 = 100$: stranica se deli na $10$ delova, pa kvadrat na $10$ redova po $10$ manjih kvadrata.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\mathrm{a}$ | ar — kvadrat stranice 10 m | — |
| $\mathrm{ha}$ | hektar — kvadrat stranice 100 m | — |
| $\mathrm{km^2}$ | kvadratni kilometar — kvadrat stranice 1 km | — |
$1\ \mathrm{ha} = 10\,000\ \mathrm{m^2}$, $1\ \mathrm{km^2} = 1\,000\,000\ \mathrm{m^2}$. U manju jedinicu množimo sa $100$ za svaki korak, u veću delimo.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $P$ | površina cele figure | cm² |
| $P_1, P_2$ | površine delova | cm² |
Delovi se ne preklapaju i zajedno pokrivaju celu figuru. Isto važi za tri i više delova.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $F_1, F_2$ | dve figure | — |
| $P_1, P_2$ | njihove površine | cm² |
Obrnuto ne važi: jednakopovršne figure ne moraju biti podudarne.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta meri površina figure?
2. Dve pločice izrezane su istim kalupom, pa jedna tačno prekriva drugu. Šta važi za njihove površine?
3. Na istoj mreži nacrtani su kvadrat od $4$ reda po $4$ kvadratića i pravougaonik od $2$ reda po $8$ kvadratića. Šta je tačno?
4. Koliko kvadratnih milimetara ima jedan kvadratni centimetar?
5. Jedan ar je površina kvadrata čija je stranica:
6. Koliko ari ima jedan hektar?
7. Kvadratić mreže ima stranicu $1$ cm. Kolika je njegova površina?
8. Od pravougaonika površine $20\ \mathrm{cm^2}$ i trougla površine $6\ \mathrm{cm^2}$ složena je kućica, bez preklapanja. Kolika je površina kućice?
9. Kako zovemo figure koje imaju jednake površine?
10. Kojom jedinicom je najzgodnije izraziti površinu poštanske marke?
Rešeni zadaci
Na kvadratnoj mreži sa kvadratićima stranice $1$ cm nacrtana je strelica. Telo strelice je pravougaonik od $2$ reda po $5$ kvadratića. Vrh je trougao: osnovica mu je uspravna duž od $4$ kvadratića naslonjena na kraj tela (viri po jedan kvadratić iznad i ispod njega), a treće teme je $2$ kvadratića desno, u visini sredine osnovice. Kolika je površina strelice?
-
Telo: $2 \cdot 5 = 10$ kvadratićaDva reda po pet kvadratića.
-
Vrh delimo vodoravnom duži od trećeg temena do sredine osnoviceDobijamo dva podudarna pravougla trougla, svaki sa katetama od $2$ kvadratića.
-
Jedan deo: $4 : 2 = 2$ kvadratićaSvaki deo je polovina kvadrata od $2 \cdot 2 = 4$ kvadratića, presečenog dijagonalom.
-
Vrh: $2 + 2 = 4$ kvadratićaZbir površina dva dela.
-
$P = 10 + 4 = 14\ \mathrm{cm^2}$Površina strelice je zbir površina tela i vrha; svaki kvadratić ima $1\ \mathrm{cm^2}$.
Koliko kvadratnih metara, koliko ari i koliko hektara ima jedan kvadratni kilometar? Objasni preko dužina stranica.
-
$1\ \mathrm{km} = 1\,000\ \mathrm{m}$Kvadrat stranice $1$ km ima stranicu od $1\,000$ m.
-
$1\ \mathrm{km^2} = 1\,000 \cdot 1\,000\ \mathrm{m^2} = 1\,000\,000\ \mathrm{m^2}$Podelimo ga na $1\,000$ redova po $1\,000$ kvadrata stranice $1$ m.
-
$1\,000\,000 : 100 = 10\,000\ \mathrm{a}$Ar ima $100\ \mathrm{m^2}$, pa delimo sa $100$.
-
$10\,000 : 100 = 100\ \mathrm{ha}$Hektar ima $100$ ari. Provera: u stranicu od $1$ km stane $10$ stranica hektara ($100$ m), pa ceo kvadrat ima $10$ redova po $10$ hektara.
Mina je novi kvadratni karton od $6$ redova po $6$ kvadratića presekla po dijagonali. Od jednog od dva trougla zatim je odsekla ćošak kod pravog ugla: rez ide od sredine jedne stranice uz pravi ugao do sredine druge. Kolike su površine tri dela? Odgovori bez brojanja kvadratića jednog po jednog.
-
Ceo karton: $6 \cdot 6 = 36$ kvadratića; dva trougla: $36 : 2 = 18$ kvadratića svakiŠest redova po šest kvadratića. Dijagonala deli kvadrat na dva podudarna trougla, a podudarne figure imaju jednake površine.
-
Ćošak: $9 : 2 = 4{,}5$ kvadratićaSredine stranica su po $3$ kvadratića od temena pravog ugla, pa je rez dijagonala kvadrata od $3$ reda po $3$ kvadratića u tom ćošku. Ćošak je polovina tog kvadrata.
-
Ostatak trougla: $18 - 4{,}5 = 13{,}5$ kvadratićaKad iz figure isečemo deo, površina se smanji tačno za površinu tog dela.
-
Provera: $18 + 4{,}5 + 13{,}5 = 36$Zbir površina delova jednak je površini celog kartona.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Zapiši $2 598\ \mathrm{mm^2}$ u kvadratnim centimetrima (decimalnim brojem).
Školski pano ima površinu $63\ \mathrm{dm^2}$. Na njega su zakačeni crtež od $830\ \mathrm{cm^2}$ i mapa od $10\ \mathrm{dm^2}$, tako da se ne preklapaju. Koliko kvadratnih centimetara panoa je ostalo slobodno?
Na kvadratnoj mreži kvadratići imaju stranicu $5$ mm. Figura pokriva $17$ celih kvadratića i još $4$ kvadratića presečena po dijagonali — od svakog od njih figura pokriva tačno polovinu. Kolika je površina figure u kvadratnim milimetrima?
Dva podudarna kartona imaju po $40$ kvadratića. Iz prvog je isečen kvadrat od $2$ reda po $2$ kvadratića, a iz drugog trougao koji je polovina pravougaonika od $2$ reda po $4$ kvadratića, presečenog po dijagonali. Šta važi za ostatke kartona?
Na zid su zalepljena dva plakata, svaki površine $40\ \mathrm{dm^2}$, tako da jedan delom prelazi preko drugog. Koliku površinu zida pokrivaju zajedno?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 44. Površina pravougaonika i kvadrata — koliko krpica treba za bakin prekrivač?