Deltoid — kakav četvorougao Sara dobije kad razvije isečen papir?
Deltoid (dva para jednakih susednih stranica), nastanak iz trougla isečenog na presavijenom papiru, obim 2a + 2b, romb kao poseban deltoid, podudarni trouglovi KLM i KNM, jednaki uglovi između nejednakih stranica, dijagonala na osi polovi uglove kod svojih temena, dijagonale normalne i jedna polovi drugu, osa simetrije (jedna kod deltoida koji nije romb), uglovi uz dijagonale, konveksan i nekonveksan deltoid.
Video
Pojmovi
- Sarin ukras
- Sara na presavijenom papiru označi na pregibu tačke $K$ i $M$, nacrta trougao $KLM$ kome je stranica $KM$ baš na pregibu i iseče ga po stranicama $KL$ i $LM$. Makaze seku oba sloja papira, pa kad ga razvije, teme $L$ dobija svoj par sa druge strane pregiba — tačku $N$. Nastaje četvorougao $KLMN$. Isti rez dao je stranice $KL$ i $KN$, pa su one jednake; drugi rez dao je jednake stranice $ML$ i $MN$. Ako su oba ugla trougla kod temena na pregibu oštra, ukras je konveksan četvorougao.
- Deltoid
- Četvorougao koji ima dva para jednakih susednih stranica zove se deltoid. U deltoidu $KLMN$ je $KL = KN = a$ i $ML = MN = b$: jednake stranice prvog para imaju zajedničko teme $K$, a drugog para teme $M$. Kod paralelograma su jednake naspramne stranice, a ovde susedne. Obim deltoida je $a + a + b + b = 2a + 2b$. Ako je $a \neq b$, naspramne stranice $KL$ i $MN$ nisu jednake, pa takav deltoid nije paralelogram. Ako je $a = b$, sve četiri stranice su jednake — to je romb. Zato je svaki romb (pa i svaki kvadrat) deltoid, a deltoid ne mora da bude romb.
- Dva podudarna trougla i jednaki uglovi
- Dijagonala $KM$ deli deltoid na trouglove $KLM$ i $KNM$. Oni imaju $KL = KN$, $ML = MN$ i zajedničku stranicu $KM$, pa su podudarni po stavu SSS. Zato su jednaki i njihovi odgovarajući uglovi: $\angle KLM = \angle KNM$ — uglovi kod temena $L$ i $N$, između nejednakih stranica $a$ i $b$, su jednaki. Jednaki su i $\angle LKM = \angle NKM$ i $\angle LMK = \angle NMK$: dijagonala $KM$ polovi uglove kod temena $K$ i $M$. Uglovi kod $K$ i $M$ (između jednakih stranica) obično su različiti. Zbir uglova četvorougla je $360^\circ$, pa je $\angle K + \angle M + 2 \cdot \angle L = 360^\circ$.
- Dijagonale deltoida
- Neka se dijagonale seku u tački $O$. Trouglovi $KLO$ i $KNO$ imaju $KL = KN$, zajedničku stranicu $KO$ i jednake uglove između njih, $\angle LKO = \angle NKO$ (dijagonala $KM$ polovi ugao kod $K$). Po stavu SUS su podudarni, pa je $LO = ON$ i $\angle KOL = \angle KON$. Ta dva ugla su uporedna, zajedno imaju $180^\circ$, pa je svaki od njih $90^\circ$. Dakle, dijagonale deltoida su normalne, a dijagonala $KM$ polovi dijagonalu $LN$. Obrnuto ne mora: kod deltoida koji nije romb je $KO \neq OM$. Kad bi bilo i $KO = OM$, dijagonale bi se polovile, četvorougao bi bio paralelogram, pa bi naspramne stranice $KL$ i $MN$ bile jednake, tj. $a = b$.
- Osa simetrije
- Prava $KM$ je normalna na $LN$ i prolazi kroz njeno središte $O$ — ona je simetrala duži $LN$. Zato osna simetrija sa osom $KM$ zamenjuje tačke $L$ i $N$, a $K$ i $M$ ostavlja na mestu. Stranica $KL$ prelazi u $KN$, a $ML$ u $MN$ — ceo deltoid prelazi sam u sebe. Deltoid je osnosimetrična figura, a osa simetrije sadrži dijagonalu $KM$; kod Sarinog ukrasa to je pregib. Deltoid koji nije romb ima samo tu jednu osu: osa čuva dužine, pa par stranica dužine $a$ mora da pređe u sebe, a zajedničko teme tog para, $K$, ostaje na mestu; isto važi za $M$. Osa zato prolazi kroz $K$ i $M$, pa je to baš prava $KM$. Romb ima dve ose — prave na kojima leže obe dijagonale.
- Uglovi uz dijagonale
- Dijagonale dele deltoid na četiri pravougla trougla sa pravim uglom kod $O$. U trouglu $KOL$ je $\angle LKO = \angle K : 2$, pa je $\angle KLO = 90^\circ - \angle K : 2$; u trouglu $MOL$ je $\angle OLM = 90^\circ - \angle M : 2$. Ugao kod temena $L$ je zbir ta dva dela. Dijagonala $LN$ ne polovi uglove kod $L$ i $N$ (osim kod romba): kad bi bilo $\angle KLO = \angle MLO$, trouglovi $KOL$ i $MOL$ bili bi podudarni po stavu USU (zajednička stranica $LO$, pravi uglovi kod $O$), pa bi bilo $KL = ML$, tj. romb.
- Konveksan i nekonveksan deltoid
- Ako Sarin trougao ima tup ugao kod temena $M$ na pregibu, razvijeni papir kod $M$ ima ugao dvostruko veći od tupog — veći od $180^\circ$. Dobija se nekonveksan deltoid sa udubljenjem, oblika vrha strele; i on ima dva para jednakih susednih stranica, ali dijagonala $LN$ je tada van njega. Ako je ugao kod $M$ prav, tačke $L$, $M$ i $N$ su na istoj pravoj i nastaje jednakokraki trougao, a ne četvorougao. U ovom času deltoid je uvek konveksan, osim kad piše drugačije.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | jednake stranice uz teme $K$ | cm |
| $b$ | jednake stranice uz teme $M$ | cm |
Za $a = b$ deltoid je romb.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | presek dijagonala | — |
| $\perp$ | „normalno“ | — |
Dijagonala $KM$ polovi dijagonalu $LN$; obrnuto važi samo kod romba.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\angle L, \angle N$ | uglovi između nejednakih stranica | ° |
| $\angle K, \angle M$ | uglovi između jednakih stranica | ° |
Uglovi kod $K$ i $M$ ne moraju biti jednaki.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $KM$ | dijagonala na osi simetrije | cm |
Dijagonala na osi polovi uglove kod svojih temena.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koji četvorougao je deltoid?
2. U deltoidu $KLMN$ je $KL = KN$ i $ML = MN$. Na kojoj pravoj sigurno leži jedna njegova osa simetrije?
3. Dijagonale deltoida $KLMN$ ($KL = KN$, $ML = MN$) seku se u tački $O$. Koja jednakost sigurno važi?
4. Deltoid ima dve stranice od $7$ cm i dve od $4$ cm. Koliki je njegov obim?
5. Dijagonale deltoida $KLMN$ seku se u tački $O$. Koliki je ugao $KOL$?
6. Koji uglovi deltoida $KLMN$ ($KL = KN$, $ML = MN$) su sigurno jednaki?
7. U deltoidu $KLMN$ ($KL = KN$, $ML = MN$) ugao kod temena $K$ je $76^\circ$. Koliki je ugao $LKM$?
8. Koliko osa simetrije ima deltoid koji nije romb?
9. Koji od ovih četvorouglova je uvek i deltoid?
10. Sarin trougao ima na pregibu teme sa uglom od $50^\circ$. Koliki je ugao razvijenog ukrasa kod tog temena?
Rešeni zadaci
U deltoidu $KLMN$ je $KL = KN$ i $ML = MN$. Ugao kod temena $N$ je $107^\circ$, a ugao kod temena $M$ je $58^\circ$. Koliki su uglovi kod temena $K$ i $L$ i koliki ugao gradi dijagonala $LN$ sa stranicom $KL$?
-
$\angle L = \angle N = 107^\circ$Uglovi kod $L$ i $N$ su između nejednakih stranica, pa su jednaki.
-
$\angle K = 360^\circ - 2 \cdot 107^\circ - 58^\circ = 88^\circ$Zbir uglova četvorougla je $360^\circ$.
-
$\angle LKO = 88^\circ : 2 = 44^\circ$Dijagonala $KM$ polovi ugao kod temena $K$ ($O$ je presek dijagonala).
-
$\angle KLN = 180^\circ - 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$Trougao $KLO$ ima prav ugao kod $O$, jer su dijagonale normalne.
-
Provera: $\angle KLN = (180^\circ - 88^\circ) : 2 = 46^\circ$Drugim putem: trougao $KLN$ je jednakokraki ($KL = KN$), pa su uglovi na osnovici $LN$ jednaki.
Sara hoće ukras u obliku deltoida $KLMN$ sa $KL = KN = 6$ cm, $ML = MN = 11$ cm i dijagonalom $LN = 9$ cm. Šta treba da nacrta na presavijenom papiru i koliki će biti obim ukrasa?
-
$LO = 9 : 2 = 4{,}5$ cmPregib (na njemu je dijagonala $KM$) normalan je na $LN$ i polovi je, pa je teme $L$ udaljeno od pregiba $4{,}5$ cm.
-
Nacrta tačku $L$ na $4{,}5$ cm od pregiba, pa šestarom nađe na pregibu tačku $K$ na $6$ cm od $L$ i tačku $M$ na $11$ cm od $L$, sa raznih strana tačke $O$ u kojoj normala iz $L$ seče pregib.Tako dobije trougao $KLM$ sa stranicom $KM$ na pregibu; drugu polovinu deltoida daje razvijanje papira.
-
$\text{obim} = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 11 = 34$ cmDijagonala $LN$ ne ulazi u obim; ivica ukrasa su četiri stranice.
Ana kaže: „Svaki četvorougao čije su dijagonale normalne je deltoid.“ Da li je u pravu? Posmatraj četvorougao $KLMN$ čije se normalne dijagonale seku u tački $O$, sa $LO = 2$ cm, $ON = 5$ cm, $KO = 3$ cm i $OM = 4$ cm.
-
Simetrala duži $LN$ normalna je na $LN$ i prolazi kroz njeno središte, a $O$ nije središte ($2 \neq 5$).Prava $KM$ je normalna na $LN$ kroz $O$, pa je paralelna sa simetralom i različita od nje.
-
Zato $K$ i $M$ nisu na simetrali duži $LN$: $KL \neq KN$ i $ML \neq MN$.Samo tačke na simetrali jednako su udaljene od $L$ i $N$.
-
Isto tako $O$ nije središte duži $KM$ ($3 \neq 4$), pa $L$ i $N$ nisu na simetrali duži $KM$: $LK \neq LM$ i $NK \neq NM$.Nijedan par susednih stranica nije jednak — to nije deltoid.
-
Ako su dijagonale normalne i jedna polovi drugu, onda jeste deltoid.Tada prva dijagonala leži na simetrali druge, pa su njena temena jednako udaljena od krajeva druge.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
U deltoidu $KLMN$ je $KL = KN$ i $ML = MN$, a dijagonale se seku u tački $O$. Dijagonala $LN$ gradi sa stranicom $KL$ ugao $\angle KLN = 63^\circ$, a dijagonala $KM$ sa stranicom $ML$ ugao $\angle KML = 31^\circ$. Koliki je ugao $KLM$?
U deltoidu $KLMN$ je $KL = KN$ i $ML = MN$. Dijagonala $LN$ duga je $11$ cm i deli deltoid na trouglove $KLN$ i $MLN$. Obim trougla $KLN$ je $31$ cm, a obim trougla $MLN$ je $34$ cm. Koliki je obim deltoida?
U deltoidu $KLMN$ je $KL = KN$ i $ML = MN$, a dijagonale se seku u tački $O$. Dijagonala $LN$ duga je $9$ cm, stranica $KL$ je $7{,}5$ cm, a obim trougla $KLO$ je $18$ cm. Duž $OM$ duga je $13$ cm. Kolika je dijagonala $KM$?
Za koji konveksan četvorougao $KLMN$ (temena tim redom) SIGURNO znamo da je deltoid?
U deltoidu $KLMN$ ($KL = KN$, $ML = MN$) uglovi kod temena $K$ i $M$ su jednaki. Šta sigurno znamo o tom četvorouglu?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 43. Pojam površine. Merenje površine — ima li Minin trougao više kartona od kvadrata?