Konstrukcija trapeza — koliko mera treba za presek nasipa?
Trapez je određen sa četiri nezavisna podatka (uglovi na istom kraku nisu nezavisni); direktna konstrukcija (trougao, pa paralela kroz teme); pomoćni trougao od krakova i razlike osnovica (pomeranje kraka) i od dijagonala i zbira osnovica (pomeranje dijagonale); kada konstrukcija nije moguća (nejednakost trougla, zbir uglova na dužoj osnovici manji od 180°, jednake osnovice); jednakokraki i pravougli trapez sa tri podatka.
Video
Pojmovi
- Četiri nezavisna podatka
- Trouglu su dovoljna tri pogodno izabrana podatka, a trapezu treba jedan više. Kada nacrtamo trougao $ABD$ (na primer iz osnovice $AB$, kraka $AD$ i ugla $\alpha$ između njih), teme $C$ mora da bude na pravoj kroz $D$ paralelnoj sa $AB$ — ali na kom mestu na toj pravoj, kaže tek četvrti podatak, na primer dužina osnovice $CD$. Podaci moraju biti nezavisni: nijedan ne sme da sledi iz ostalih. Uglovi na istom kraku nisu nezavisni, jer im je zbir $180^\circ$: čim znamo $\beta$, znamo i $\gamma = 180^\circ - \beta$. Osnovice moraju biti različite dužine — dve jednake paralelne stranice daju paralelogram.
- Trougao, pa paralela
- Ako su dati osnovica $AB$, krak $AD$, ugao $\alpha$ i osnovica $CD$, prvo konstruišemo trougao $ABD$ po slučaju SUS. Kroz $D$ konstruišemo pravu paralelnu sa $AB$ (kao u času o geometrijskim konstrukcijama) i na njoj od $D$ odmerimo $DC$, idući na onu stranu na kojoj je $B$. Isto radimo kad je dat krak $BC$ sa uglom $\beta$: trougao $ABC$, pa paralela kroz $C$ i na njoj $CD$, ka strani tačke $A$. Ovakav trapez postoji za svaki ugao između $0^\circ$ i $180^\circ$ i za svaku dužinu $CD$ različitu od $AB$.
- Pomeranje kraka: krak, krak i razlika osnovica
- Jovana zna sve četiri stranice, a nijedan ugao. Kroz teme $C$ povuče pravu paralelnu sa krakom $AD$; ona seče dno $AB$ u tački $E$. Četvorougao $AECD$ je paralelogram, pa je $AE = CD = 4$ cm i $EC = AD = 7$ cm. Ostaje trougao $EBC$ sa stranicama $EB = 12 - 4 = 8$ cm, $BC = 5$ cm i $EC = 7$ cm — njega crtamo po slučaju SSS. Zatim produžimo $BE$ preko $E$ za $4$ cm do temena $A$, a teme $D$ dobijamo na pravoj kroz $C$ paralelnoj sa $AB$, $4$ cm od $C$ ka strani tačke $A$. Isti trougao $EBC$ pomaže i kada su date osnovice i uglovi $\alpha$ i $\beta$: ugao kod $E$ jednak je uglu $\alpha$ (jer je $EC \parallel AD$), pa ga crtamo po slučaju USU.
- Pomeranje dijagonale: dve dijagonale i zbir osnovica
- Kada su date osnovice i dijagonale $d_1 = AC$ i $d_2 = BD$, pomeramo dijagonalu. Kroz $B$ povučemo pravu paralelnu sa $AC$; ona seče produžetak osnovice $DC$ preko $C$ u tački $F$. Četvorougao $ABFC$ je paralelogram, pa je $CF = AB$ i $BF = AC$. Trougao $DBF$ ima stranice $BD = d_2$, $BF = d_1$ i $DF = CD + AB$, tj. dve dijagonale i zbir osnovica, pa ga crtamo po slučaju SSS. Na $DF$ odmerimo $DC$, a teme $A$ dobijamo na pravoj kroz $B$ paralelnoj sa $DF$, na rastojanju $AB$ od $B$, ka strani tačke $D$.
- Kada trapeza nema
- Pre crtanja proverimo da li pomoćni trougao postoji. Da su Jovanine kosine $2$ cm i $3$ cm, trougao $EBC$ bi imao stranice $2$, $3$ i $8$ cm, a $2 + 3 = 5 < 8$ — lukovi se ne seku, pa takvog nasipa nema. Ako je zbir dve kraće stranice jednak trećoj, tri temena padnu na jednu pravu, pa ni tada trapeza nema. Kada su dati uglovi na dužoj osnovici, oni su dva ugla trougla $EBC$, pa im zbir mora biti manji od $180^\circ$: uglovi od $120^\circ$ i $70^\circ$ ne mogu biti na dužoj osnovici.
- Jednakokraki trapez: tri podatka
- Kraci jednakokrakog trapeza su jednaki, a uglovi na istoj osnovici takođe, pa su dovoljna tri podatka, na primer obe osnovice i krak. Spustimo visine iz $D$ i $C$ na $AB$; podnožja su $K$ i $L$. Četvorougao $KLCD$ je pravougaonik, pa je $KL = CD$, a $AK = LB = (AB - CD) : 2$. Trougao $AKD$ ima prav ugao kod $K$ i hipotenuzu $AD$ — crtamo ga po slučaju SSU, a postoji samo ako je krak duži od $AK$, tj. ako je dvostruki krak duži od razlike osnovica.
- Pravougli trapez: tri podatka
- Pravougli trapez ima prave uglove kod $A$ i $D$, pa je krak $AD$ normalan na obe osnovice i jednak visini $h$. Dovoljna su tri podatka. Za osnovice i krak $AD$: nacrtamo $AB$, u $A$ konstruišemo normalu i na njoj odmerimo $AD$, kroz $D$ povučemo paralelu sa $AB$ i na njoj odmerimo $DC$. Za osnovice i kosi krak $BC$ crtamo pravougli trougao $EBC$, gde je $E$ podnožje visine iz $C$, sa pravim uglom kod $E$, katetom $EB = AB - CD$ i hipotenuzom $BC$ — zato kosi krak mora biti duži od razlike osnovica.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | osnovice ($a = AB$ duža, $b = CD$) | cm |
| $c, d$ | kraci $BC$ i $AD$ | cm |
| $d_1, d_2$ | dijagonale $AC$ i $BD$ | cm |
| $\alpha, \beta$ | uglovi na osnovici $a$ | ° |
Četiri nezavisna podatka; uglovi na istom kraku ($\alpha$ i $\delta$, $\beta$ i $\gamma$) nisu nezavisni.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a - b$ | stranica $EB$ pomoćnog trougla $EBC$ | cm |
| $c, d$ | kraci | cm |
Nejednakost trougla za trougao $EBC$ (krak $AD$ pomeren u $EC$).
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a + b$ | stranica $DF$ pomoćnog trougla $DBF$ | cm |
| $d_1, d_2$ | dijagonale | cm |
Nejednakost trougla za trougao $DBF$ (dijagonala $AC$ pomerena u $BF$).
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$ | krak (kod pravouglog kosi krak) | cm |
| $a, b$ | osnovice | cm |
Dovoljna su tri podatka; uslovi su za slučaj kad su date obe osnovice i krak.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko nezavisnih podataka je potrebno da bi trapez bio određen (kad ne znamo da li je jednakokraki ili pravougli)?
2. Šta znači da su podaci za konstrukciju nezavisni?
3. Trapez $ABCD$ ima osnovice $AB = 10$ cm i $CD = 3$ cm. Kroz $C$ povučemo pravu paralelnu sa $AD$; ona seče $AB$ u tački $E$. Kolika je duž $EB$?
4. Date su sve četiri stranice trapeza. Po kom slučaju crtamo pomoćni trougao $EBC$?
5. Date su osnovice $a$ i $b$ i dijagonale $d_1$ i $d_2$. Koje su stranice pomoćnog trougla?
6. Nacrtan je trougao $ABD$, a data je i dužina osnovice $CD$. Kako dobijamo teme $C$?
7. Koliko podataka je dovoljno da bi jednakokraki trapez bio određen?
8. Jednakokraki trapez ima osnovice $12$ cm i $2$ cm. Krak mora biti duži od:
9. Pravougli trapez sa pravim uglovima kod $A$ i $D$ ima osnovice $AB = 8$ cm i $CD = 5$ cm. Koliki može da bude kosi krak $BC$?
10. U trapezu $ABCD$ osnovica $AB$ je duža od $CD$. Mogu li uglovi kod $A$ i $B$ biti $100^\circ$ i $85^\circ$?
Rešeni zadaci
Konstruiši trapez $KLMN$ ($KL \parallel MN$) ako je $KL = 9$ cm, $MN = 3$ cm, $LM = 4$ cm i $NK = 5$ cm. Da li bi trapez postojao kad bi osnovica $MN$ bila $8$ cm?
-
Kroz $M$ povučemo pravu paralelnu sa $NK$; ona seče $KL$ u tački $P$.$KPMN$ je paralelogram, pa je $KP = MN = 3$ cm i $PM = NK = 5$ cm.
-
$PL = 9 - 3 = 6$ cmTrougao $PLM$ ima stranice $PL$, $LM = 4$ cm i $PM = 5$ cm — SSS.
-
$4 + 5 = 9 > 6$Zbir dve kraće stranice veći je od najduže, pa trougao $PLM$ postoji.
-
Nacrtamo $KL = 9$ cm i na njoj tačku $P$, $3$ cm od $K$. Iz $P$ opišemo luk poluprečnika $5$ cm, a iz $L$ luk poluprečnika $4$ cm; presek je teme $M$.Konstrukcija trougla $PLM$ po slučaju SSS.
-
Kroz $M$ konstruišemo pravu paralelnu sa $KL$ i na njoj odmerimo $MN = 3$ cm, ka strani tačke $K$.Tako je $KP \parallel NM$ i $KP = NM$, pa je $KPMN$ paralelogram i $NK = PM = 5$ cm.
-
$MN = 8$ cm: $\ PL = 9 - 8 = 1$ cm, $\ 1 + 4 = 5$Zbir dve kraće stranice jednak je trećoj — tačke $P$, $L$ i $M$ bile bi na jednoj pravoj, pa trapeza ne bi bilo.
Konstruiši trapez $PQRS$ ($PQ \parallel RS$) ako je $PQ = 7$ cm, $RS = 2$ cm, a dijagonale su $PR = 6$ cm i $QS = 5$ cm. Da li bi trapez postojao kad bi osnovica $RS$ bila $5$ cm?
-
Kroz $Q$ povučemo pravu paralelnu sa $PR$; ona seče produžetak osnovice $SR$ preko $R$ u tački $F$.$PQFR$ je paralelogram, pa je $RF = PQ = 7$ cm i $QF = PR = 6$ cm.
-
$SF = 2 + 7 = 9$ cmTrougao $SQF$ ima stranice $SQ = 5$ cm, $QF = 6$ cm i $SF$ — SSS.
-
$5 + 6 = 11 > 9$Trougao $SQF$ postoji.
-
Nacrtamo $SF = 9$ cm i na njoj tačku $R$, $2$ cm od $S$. Iz $S$ opišemo luk poluprečnika $5$ cm, a iz $F$ luk poluprečnika $6$ cm; presek je teme $Q$.Konstrukcija trougla $SQF$.
-
Kroz $Q$ konstruišemo pravu paralelnu sa $SF$ i na njoj odmerimo $QP = 7$ cm, ka strani tačke $S$.$PQ \parallel RF$ i $PQ = RF$, pa je $PQFR$ paralelogram i $PR = QF = 6$ cm, kako treba.
-
$RS = 5$ cm: $\ SF = 5 + 7 = 12$ cm, $\ 5 + 6 = 11 < 12$Lukovi iz $S$ i $F$ se ne bi sekli, pa ne bi bilo ni trougla $SQF$ ni trapeza — iako je $RS$ i dalje kraća od $PQ$. Smeta zbir osnovica.
Konstruiši jednakokraki trapez $EFGH$ ($EF \parallel GH$) sa osnovicama $EF = 10$ cm i $GH = 4$ cm i visinom $5$ cm. Zašto ovde pre crtanja ne moramo ništa da proveravamo?
-
Visine iz $H$ i $G$ padaju na $EF$ u tačke $K$ i $L$; $KLGH$ je pravougaonik, pa je $KL = GH = 4$ cm.Visina je normalna na osnovice.
-
$EK = LF = (10 - 4) : 2 = 3$ cmTrapez je jednakokraki, pa su delovi osnovice levo i desno od $KL$ jednaki.
-
Trougao $EKH$: katete $EK = 3$ cm i $KH = 5$ cm, a između njih prav ugao — SUS.Dve stranice i ugao između njih uvek daju tačno jedan trougao, pa nema uslova koji treba proveriti.
-
Nacrtamo $EF = 10$ cm, na njoj $K$ ($3$ cm od $E$) i $L$ ($3$ cm od $F$). U $K$ i u $L$ konstruišemo normale i na obe, sa iste strane prave $EF$, odmerimo $5$ cm: to su temena $H$ i $G$.Konstrukcija trouglova $EKH$ i $FLG$ po slučaju SUS.
-
Spojimo $E$ sa $H$, $H$ sa $G$ i $G$ sa $F$.$KLGH$ je pravougaonik, pa je $HG \parallel EF$ i $HG = KL = 4$ cm; trouglovi $EKH$ i $FLG$ su podudarni (SUS), pa je $EH = FG$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Trapez $KLMN$ ima osnovice $KL = 13$ cm i $MN = 10$ cm i krak $LM = 4$ cm. Dužina kraka $NK$ izražena je prirodnim brojem centimetara. Kolika je najveća moguća dužina kraka $NK$?
U jednakokrakom trapezu $ABCD$ osnovica $AB$ je duža, a ugao kod temena $A$ je $60^\circ$. Osnovica $AB$ duga je $17$ cm, a krak $10$ cm. Koliki je obim trapeza?
Sara konstruiše trapez $PQRS$ ($PQ$ je duža osnovica) pomoću pomoćnog trougla: kroz teme $R$ povuče pravu paralelnu sa krakom $PS$, a ona seče osnovicu $PQ$ u tački $T$. Obim trougla $TQR$ je $14$ cm, a osnovica $RS$ je $7$ cm. Koliki je obim trapeza?
Trapez $ABCD$ ($AB \parallel CD$) je jednakokraki. Kroz $B$ povučemo pravu paralelnu sa dijagonalom $AC$; ona seče produžetak osnovice $DC$ preko $C$ u tački $F$. Kakav je sigurno trougao $DBF$?
Konstruišemo jednakokraki trapez $ABCD$ sa dužom osnovicom $AB = 11$ cm, krakom $6$ cm i visinom $4$ cm. Nacrtali smo $AB$, pravu $p$ paralelnu sa $AB$ na rastojanju $4$ cm i na njoj teme $D$, tako da je $AD = 6$ cm, a ugao kod $A$ oštar. Luk iz $B$ poluprečnika $6$ cm seče pravu $p$ u dve tačke. Koja od njih je teme $C$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 42. Deltoid — kakav četvorougao Sara dobije kad razvije isečen papir?