Trapez — koliko je duga srednja prečka merdevina?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Trapez

Dedine merdevine imaju dve paralelne prečke, donju i gornju, i dve bočne letve koje nisu paralelne — ka vrhu se približavaju. Četvorougao koji ima tačno jedan par paralelnih stranica zove se trapez. Za trapez $PQRS$ (temena tim redom) sa $PQ \parallel RS$ paralelne stranice $PQ$ i $RS$ su osnovice, a stranice $QR$ i $SP$ su kraci. Obično je $a = PQ$ duža osnovica, $b = RS$ kraća, a kraci su $c = QR$ i $d = SP$; obim je $O = a + b + c + d$. Osnovice trapeza nikad nisu jednake: četvorougao kome su dve naspramne stranice i paralelne i jednake je paralelogram, a paralelogram ima dva para paralelnih stranica, pa nije trapez.

Visina i dijagonale

Visina trapeza je duž normalna na osnovice, sa krajevima na pravama $PQ$ i $RS$. Njena dužina $h$ je rastojanje između te dve paralelne prave, pa je ista kad god je spustimo iz bilo koje tačke kraće osnovice. Najčešće je spuštamo iz temena: iz $S$ do tačke $U$ i iz $R$ do tačke $V$ na pravoj $PQ$. Kao svaki četvorougao, trapez ima dve dijagonale, $PR$ i $QS$. Za razliku od paralelograma, dijagonale trapeza se ne polove — kad bi se polovile, četvorougao bi bio paralelogram.

Uglovi na kraku

Uglove kod temena $P$, $Q$, $R$, $S$ obeležavamo sa $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Krak $QR$ seče paralelne prave $PQ$ i $RS$, a uglovi $\beta$ i $\gamma$ su između tih pravih, sa iste strane kraka — to su suprotni uglovi na transverzali, pa je $\beta + \gamma = 180^\circ$. Isto tako je na kraku $SP$: $\alpha + \delta = 180^\circ$. Uglovi na istom kraku trapeza su suplementni. Na primer, za $\alpha = 62^\circ$ i $\beta = 79^\circ$ je $\delta = 118^\circ$ i $\gamma = 101^\circ$. Za razliku od paralelograma, jedan ugao nije dovoljan: treba znati po jedan ugao na svakom kraku. Uglovi na istoj osnovici nisu suplementni — da je $\alpha + \beta = 180^\circ$, i kraci bi bili paralelni, pa bi to bio paralelogram.

Jednakokraki trapez

Trapez čiji su kraci jednaki, $QR = SP$, zove se jednakokraki trapez — takve su dedine merdevine, sa dve iste letve. Spustimo visine $SU$ i $RV$ na pravu $PQ$. Pravougli trouglovi $PUS$ i $QVR$ imaju jednake hipotenuze ($SP = QR$) i jednake katete ($SU = RV = h$), a naspram hipotenuze, veće stranice, je pravi ugao, pa su podudarni po stavu SSU. Zato je $PU = QV$. Četvorougao $UVRS$ je pravougaonik, pa je $UV = RS$, a to je kraće od $PQ$. Tačke $U$ i $V$ dobijamo kad $P$ i $Q$ pomerimo po pravoj $PQ$ za isto toliko ($PU = QV$), a duž $UV$ je kraća od $PQ$ samo ako se oba kraja pomere ka unutra — zato podnožja $U$ i $V$ padaju na samu osnovicu $PQ$, i jednaki uglovi tih trouglova kod $P$ i $Q$ su baš uglovi trapeza: $\alpha = \beta$. Onda je i $\gamma = 180^\circ - \beta = 180^\circ - \alpha = \delta$. Uglovi na istoj osnovici jednakokrakog trapeza su jednaki. Uglovi pravouglog trougla uz hipotenuzu su oštri, pa su $\alpha$ i $\beta$ oštri, a $\gamma$ i $\delta$ tupi.

Dijagonale i osa jednakokrakog trapeza

U jednakokrakom trapezu je $PV = PU + UV$ i $QU = QV + UV$, a $PU = QV$, pa je $PV = QU$. Pravougli trouglovi $PVR$ i $QUS$ imaju jednake katete ($PV = QU$ i $RV = SU = h$) i prave uglove između njih, pa su podudarni po stavu SUS. Zato je $PR = QS$: dijagonale jednakokrakog trapeza su jednake. Pošto je $PU = QV$, središte osnovice $PQ$ je i središte duži $UV$, a središte duži $UV$ je tačno ispod središta osnovice $RS$. Zato je prava normalna na osnovice kroz njihova središta simetrala i duži $PQ$ i duži $RS$, pa zamenjuje $P$ i $Q$, kao i $S$ i $R$ — ona je osa simetrije jednakokrakog trapeza.

Pravougli trapez

Trapez kome je jedan krak normalan na osnovice zove se pravougli trapez. Ako je $SP \perp PQ$, onda je $\alpha = 90^\circ$, a pošto su uglovi na istom kraku suplementni, i $\delta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Taj krak je ujedno visina: $d = h$. Drugi krak je duži od visine, jer je hipotenuza pravouglog trougla $QVR$. Pravougli trapez ima tačno dva prava ugla: da je prav i treći ugao, prav bi bio i četvrti ($360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$), pa bi to bio pravougaonik, a ne trapez.

Srednja linija trapeza

Duž koja spaja središta krakova zove se srednja linija trapeza i obeležava se sa $m$. Neka je $M$ središte kraka $SP$, $N$ središte kraka $QR$, a $T$ središte dijagonale $PR$. Iz časa o vektorima znamo da je srednja linija trougla paralelna stranici koju ne dodiruje i dvaput kraća od nje. U trouglu $PRS$ duž $MT$ je srednja linija, pa je $MT \parallel RS$ i $MT = \dfrac{b}{2}$; u trouglu $PQR$ duž $TN$ je srednja linija, pa je $TN \parallel PQ$ i $TN = \dfrac{a}{2}$. Obe duži prolaze kroz $T$ i paralelne su osnovicama, a kroz jednu tačku prolazi samo jedna prava paralelna datoj, pa leže na istoj pravoj. Od $M$ do $T$ idemo u smeru od $S$ ka $R$, a od $T$ do $N$ u smeru od $P$ ka $Q$ — to je isti smer, pa je $T$ između $M$ i $N$: $m = MN = MT + TN = \dfrac{b}{2} + \dfrac{a}{2} = \dfrac{a + b}{2}$, i $m \parallel PQ$. Na primer, za osnovice $15$ cm i $7$ cm je $m = 11$ cm — srednja linija je za isto toliko duža od kraće osnovice koliko je kraća od duže ($11 - 7 = 15 - 11 = 4$ cm). Pošto

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.