Operacije sa vektorima — da li je robotu važno kojim redom izvršava naredbe?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Nadovezivanje — pravilo trougla

Svaka Lukina naredba je vektor: ima pravac, smer i intenzitet (koliko pločica). Neka je $\vec{a}$ naredba „pet pločica udesno“, a $\vec{b}$ naredba „dve udesno i tri nagore“. Vektori istog pravca, smera i intenziteta su jednaki, ma gde počinjali (5. razred), pa isti vektor smemo da nacrtamo iz bilo koje tačke. Robot drugu naredbu izvršava od mesta gde je završio prvu, pa vektor $\vec{b}$ crtamo tako da mu početak bude u kraju vektora $\vec{a}$ — kažemo da smo $\vec{b}$ nadovezali na $\vec{a}$. Zbir $\vec{a} + \vec{b}$ je vektor od početka vektora $\vec{a}$ do kraja vektora $\vec{b}$: on pokazuje gde je robot stigao. Za bilo koje tri tačke $K$, $L$, $M$ važi $\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LM} = \overrightarrow{KM}$. Kad vektori nisu istog pravca, $\vec{a}$, $\vec{b}$ i $\vec{a} + \vec{b}$ su stranice trougla, pa se ovo zove pravilo trougla. Više vektora sabiramo isto: nadovezujemo ih redom, a zbir ide od početka prvog do kraja poslednjeg.

Vektori istog pravca i intenzitet zbira

Ako dva vektora imaju isti pravac i isti smer, nadovezani leže na jednoj pravoj: zbir ima taj smer, a intenzitet mu je zbir intenziteta ($4$ pločice udesno i još $3$ udesno daju $7$ udesno). Ako su istog pravca, a suprotnog smera, drugi vektor vraća deo puta: $5$ pločica udesno i $2$ ulevo daju $3$ udesno — intenzitet zbira je razlika intenziteta, a smer je smer dužeg vektora (ako su jednako dugi, robot se vraća tačno na početak). Kad vektori nisu istog pravca, intenzitet zbira NIJE zbir intenziteta: robot je prešao put $|\vec{a}| + |\vec{b}|$, a $\vec{a} + \vec{b}$ je treća stranica trougla, pa je po nejednakosti trougla $|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Oznaka $|\vec{a}|$ je intenzitet vektora $\vec{a}$.

Pravilo paralelograma i svojstva sabiranja

Jana pusti prvo $\vec{b}$, pa $\vec{a}$. Nacrtajmo oba vektora iz iste tačke $P$: $\overrightarrow{PQ} = \vec{a}$ i $\overrightarrow{PS} = \vec{b}$, pa ih dopunimo do paralelograma $PQRS$. Naspramne stranice paralelograma su paralelne i jednake, a strelice $\overrightarrow{PS}$ i $\overrightarrow{QR}$ (kao i $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{SR}$) okrenute su na istu stranu, pa je $\overrightarrow{QR} = \vec{b}$ i $\overrightarrow{SR} = \vec{a}$. Put $P \to Q \to R$ daje $\vec{a} + \vec{b}$, a put $P \to S \to R$ daje $\vec{b} + \vec{a}$ — oba završavaju u $R$. Dakle $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{PR}$: sabiranje vektora je komutativno, a zbir dva vektora sa zajedničkim početkom (koji nisu istog pravca) je dijagonala paralelograma iz tog početka — pravilo paralelograma. Kod tri vektora smemo da pomerimo zagradu: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (asocijativnost), jer se u oba slučaja vektori nadovezuju istim redom. Uz zamen

Suprotan vektor i nula-vektor

Vektor koji ima isti pravac i isti intenzitet kao $\vec{a}$, a suprotan smer, zove se vektor suprotan vektoru $\vec{a}$ i piše se $-\vec{a}$. Ako je $\vec{a} = \overrightarrow{KL}$, onda je $-\vec{a} = \overrightarrow{LK}$: robota koji je otišao pet pločica udesno vraća naredba „pet pločica ulevo“. Posle obe naredbe robot je tamo gde je krenuo: $\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{KK}$. Vektor čiji se početak i kraj poklapaju zove se nula-vektor i piše se $\vec{0}$; intenzitet mu je $0$, a pravac i smer nema. Dakle $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$, a dodavanje nula-vektora ništa ne menja: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Oduzimanje vektora

Kao kod brojeva, oduzeti vektor znači dodati suprotan vektor: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Na mreži: $\vec{a}$ je pet pločica udesno, $\vec{b}$ dve udesno i tri nagore, pa je $-\vec{b}$ dve ulevo i tri nadole, a $\vec{a} - \vec{b}$ tri pločice udesno i tri nadole. U paralelogramu $PQRS$ iz prethodnog pojma: $\vec{a} - \vec{b} = -\vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{SP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SQ}$. Jedna dijagonala paralelograma daje zbir, a druga razliku; razlika $\vec{a} - \vec{b}$ ide od kraja vektora $\vec{b}$ do kraja vektora $\vec{a}$ (kad imaju zajednički početak). Pazi na redosled: $\vec{b} - \vec{a} = \overrightarrow{QS}$, a to je vektor suprotan vektoru $\vec{a} - \vec{b}$.

Množenje vektora brojem

$3\vec{u}$ je kraći zapis za $\vec{u} + \vec{u} + \vec{u}$: tri puta ista naredba. Ako je $\vec{u}$ dve pločice udesno, $3\vec{u}$ je šest pločica udesno. Uopšte, za broj $k$ različit od nule i vektor $\vec{a}$ koji nije nula-vektor, vektor $k\vec{a}$ ima isti pravac kao $\vec{a}$ i intenzitet $|k| \cdot |\vec{a}|$; ako je $k > 0$, smer mu je isti kao smer vektora $\vec{a}$, a ako je $k < 0$, suprotan. Zato je $-2\vec{u}$ četiri pločice ulevo, a $\frac{1}{2}\vec{u}$ jedna pločica udesno. Za $k = 0$ dobijamo nula-vektor, a $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$.

Srednja linija trougla

Duž koja spaja središta dve stranice trougla zove se srednja linija trougla; svaki trougao ih ima tri. Neka su $K$ i $L$ središta stranica $DF$ i $EF$ trougla $DEF$. Tada je $\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{KF}$ i $\overrightarrow{FL} = \overrightarrow{LE}$ (isti pravac, isti smer i jednake dužine), pa je $\overrightarrow{DF} = 2\overrightarrow{KF}$ i $\overrightarrow{FE} = 2\overrightarrow{FL}$. Zato je $\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{KF} + \overrightarrow{KF} + \overrightarrow{FL} + \overrightarrow{FL}$, a kad promenimo redosled sabiraka, to je $(\overrightarrow{KF} + \overrightarrow{FL}) + (\overrightarrow{KF} + \overrightarrow{FL}) = \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{KL} = 2\overrightarrow{KL}$. Vektor $2\overrightarrow{KL}$ ima isti pravac kao $\overrightarrow{KL}$ i dvaput je duži, pa je srednja linija $KL$ paralelna stranici $DE$ i dvaput je kraća od nje: $KL = DE : 2$. Tri srednje linije dele trougao na četiri trougla

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.