Konstrukcija paralelograma — šta još treba reći osim dužina dve letvice?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Tri nezavisna podatka

Dijagonala deli paralelogram na dva podudarna trougla. Čim nacrtamo jedan od njih, drugi je njegova slika u centralnoj simetriji sa centrom u sredini dijagonale, pa je ceo paralelogram određen. Trouglu trebaju tri pogodno izabrana podatka, pa i paralelogramu — ali nezavisna: nijedan ne sme da sledi iz ostalih. Kad znamo $\alpha$, ugao $\beta = 180^\circ - \alpha$ ne donosi ništa novo, a ni $\gamma = \alpha$; kad znamo dijagonalu $AC$, znamo i njenu polovinu $AO$; ni stranica naspram poznate stranice nije nov podatak. Dve stranice same nisu dovoljne: okvir od letvica od $3$ dm i $2$ dm može da se „nakrivi“ koliko hoćemo, a stranice ostaju iste.

Analiza: koji trougao prvo

Nacrtamo skicu paralelograma $ABCD$ sa obe dijagonale, koje se seku u tački $O$, i obojimo date podatke. Na skici tražimo trougao za koji znamo tri podatka. Kandidati su: $ABD$ (stranice $AB$, $AD$, dijagonala $BD$ i ugao $\alpha$ između stranica), $ABC$ (stranice $AB$, $BC$, dijagonala $AC$ i ugao $\beta = 180^\circ - \alpha$) i $ABO$ (stranica $AB$ i polovine dijagonala $AO = \dfrac{AC}{2}$, $BO = \dfrac{BD}{2}$, sa uglom između dijagonala kod $O$). Kad nađemo takav trougao, proverimo da li postoji i konstruišemo ga po slučaju SSS, SUS, SSU ili USU, kao u času o konstrukciji trougla. Polovinu date dijagonale dobijamo konstrukcijom simetrale te duži.

Četvrto teme

Kad je nacrtan trougao $ABD$, teme $C$ možemo da dobijemo na tri načina. (1) U preseku luka iz $B$ poluprečnika $AD$ i luka iz $D$ poluprečnika $AB$, sa druge strane prave $BD$ od tačke $A$: tada su oba para naspramnih stranica jednaka, pa je četvorougao paralelogram. (2) U preseku prave kroz $B$ paralelne sa $AD$ i prave kroz $D$ paralelne sa $AB$. (3) Na produžetku duži $AO$ preko tačke $O$, sredine duži $BD$, odmerimo $OC = OA$ — dijagonale se tada polove. Kad je nacrtan trougao $ABO$, produžimo $AO$ i $BO$ preko $O$ za iste dužine i dobijamo $C$ i $D$.

Dve stranice i ugao ili dijagonala

Ako su date stranice $AB$, $AD$ i ugao $\alpha$ između njih, trougao $ABD$ crtamo po slučaju SUS — za svaki ugao između $0^\circ$ i $180^\circ$ on postoji i jedan je. Ako su umesto ugla date stranice i dijagonala $BD$, trougao $ABD$ crtamo po slučaju SSS, ali on postoji samo ako je dijagonala kraća od zbira, a duža od razlike stranica. Za stranice $5$ cm i $9$ cm dijagonala mora biti duža od $9 - 5 = 4$ cm i kraća od $5 + 9 = 14$ cm. Isto važi i za drugu dijagonalu, jer i ona sa dve susedne stranice gradi trougao.

Dijagonale i stranica ili ugao između dijagonala

Kad su date dijagonale, crtamo trougao $ABO$ od njihovih polovina. Ako je dat i ugao između dijagonala, to je SUS: dve polovine i ugao između njih, pa paralelogram uvek postoji. Ako je umesto ugla data stranica $AB$, to je SSS sa stranicama $AB$, $\dfrac{AC}{2}$ i $\dfrac{BD}{2}$, pa mora da važi nejednakost trougla. Za dijagonale od $11$ cm i $5$ cm polovine su $5{,}5$ cm i $2{,}5$ cm, pa stranica mora biti duža od $5{,}5 - 2{,}5 = 3$ cm i kraća od $5{,}5 + 2{,}5 = 8$ cm.

Stranica, ugao i dijagonala

Ako su date stranica $AB$, ugao $\alpha$ i dijagonala $BD$, u trouglu $ABD$ ugao $\alpha$ je naspram dijagonale $BD$ — to je SSU. Trougao je sigurno jedan kad je $BD$ duža od $AB$, jer je tada ugao naspram veće od dve date stranice. Kad je $\alpha$ oštar, a $BD$ nije duža od $AB$, luk iz $B$ poluprečnika $BD$ može da seče krak ugla u dve tačke, u jednoj ili ni u jednoj, pa paralelogram nije sigurno jedan. Ako je $\alpha$ prav ili tup, on je najveći ugao trougla $ABD$, pa naspram njega mora biti najduža stranica: kad $BD$ nije duža od $AB$, takav paralelogram ne postoji. Ako je data dijagonala $AC$, gledamo trougao $ABC$ sa uglom $\beta = 180^\circ - \alpha$ naspram $AC$.

Pravougaonik, romb i kvadrat

Kod posebnih paralelograma deo podataka već znamo, pa ih treba manje. Pravougaoniku su svi uglovi pravi, pa su dovoljna dva podatka: dve susedne stranice (SUS sa uglom od $90^\circ$), stranica i dijagonala (dijagonala mora biti duža od stranice) ili dijagonala i ugao između dijagonala (sve četiri polovine dijagonala su jednake). Rombu su sve stranice jednake, pa su i njemu dovoljna dva: stranica i ugao, stranica i dijagonala (dijagonala kraća od dve stranice zajedno) ili obe dijagonale (one se polove i normalne su). Kvadratu je dovoljan jedan podatak: stranica ili dijagonala.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.