Vrste paralelograma — kako majstor proverava da li je okvir pravougaonik?
Pravougaonik, romb i kvadrat kao posebni paralelogrami: definicije i šta je dovoljno proveriti, jednake dijagonale pravougaonika i obrnuto (provera okvira), dijagonale romba (normalne, polove uglove, ose simetrije), kružnica opisana oko pravougaonika (r = d/2) i upisana u romb (r = h/2), kvadrat kao pravougaonik i romb, odnosi među vrstama.
Video
Pojmovi
- Pravougaonik
- Pravougaonik je paralelogram čiji su svi uglovi pravi. Ne moramo da proveravamo sva četiri ugla: dovoljno je da paralelogram ima jedan prav ugao. Susedni uglovi paralelograma zajedno imaju $180^\circ$, pa je i svaki susedni ugao $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, a naspramni ugao jednak je pravom. Pravougaonik $EFGH$ ima stranice $EF = GH = a$ i $FG = HE = b$, pa mu je obim $2a + 2b$.
- Dijagonale pravougaonika
- Neka je $s$ simetrala duži $EF$ (normala na $EF$ kroz njenu sredinu). Osna simetrija sa osom $s$ preslikava $E$ u $F$, a $F$ u $E$. Ona čuva dužine i uglove, a tačke pomera normalno na osu, tj. paralelno sa $EF$, pa ostaju sa iste strane prave $EF$. Zato se $H$ preslikava u tačku sa iste strane prave $EF$, udaljenu od $F$ koliko je teme $H$ udaljeno od $E$, i to tako da je ugao kod $F$ prav, kao što je $\angle FEH$ prav. Takva tačka je baš teme $G$, jer je $FG = EH$ i $\angle EFG = 90^\circ$. Dakle, $s$ je osa simetrije pravougaonika; prolazi i kroz sredinu stranice $GH$. Zato se dijagonala $EG$ preslikava u dijagonalu $FH$, pa je $EG = FH$ — dijagonale pravougaonika su jednake. Pošto se dijagonale svakog paralelograma polove, presek $O$ jednako je udaljen od sva četiri temena: $OE = OF = OG = OH$. Zato su trouglovi $EOF$, $FOG$, $GOH$ i $HOE$ jednakokraki, pa iz ugla koji dijagonala gradi sa stranicom nalazimo i uglove između dijagonala. Kružnica sa centrom $O$ kroz jedno teme prolazi
- Majstorova provera
- Okvir sa jednakim naspramnim letvicama je paralelogram, ali može da bude nakrivljen. Ako su mu dijagonale jednake, on je pravougaonik. Neka u paralelogramu $EFGH$ važi $EG = FH$. Trouglovi $EFG$ i $FEH$ imaju jednake sve tri stranice ($EF$ je zajednička, $FG = EH$ kao naspramne, $EG = FH$), pa su podudarni (SSS) i $\angle EFG = \angle FEH$. Ta dva ugla su susedni uglovi paralelograma, pa zajedno imaju $180^\circ$ — svaki je $90^\circ$. Zato majstor metrom izmeri obe dijagonale: ako se razlikuju, okvir je nakrivljen. Pazi: provera važi samo za paralelogram — jednake dijagonale ima i poneki četvorougao koji nije paralelogram.
- Romb
- Romb je paralelogram čije su sve stranice jednake. Dovoljno je da su dve susedne stranice jednake, jer su naspramne stranice paralelograma uvek jednake. Obim romba sa stranicom $a$ je $4a$. Uglovi romba ne moraju da budu pravi: romb je i „spljošteni“ oblik kakav ima znak karo na kartama za igru, i pločica nagnuta u stranu.
- Dijagonale romba
- U rombu $PQRS$ trouglovi $PQR$ i $PSR$ imaju jednake sve tri stranice ($PQ = PS$, $QR = SR$, $PR$ zajednička), pa su podudarni (SSS). Zato je $\angle QPR = \angle SPR$ i $\angle QRP = \angle SRP$: dijagonala $PR$ polovi uglove kod temena $P$ i $R$. Presavijemo li romb po $PR$, krak $PQ$ pada na krak $PS$, a jednaki su, pa $Q$ pada tačno na $S$: prava $PR$ je osa simetrije. Duž koja spaja tačku i njenu sliku normalna je na osu, pa je $QS \perp PR$. Isto važi za dijagonalu $QS$. Važi i obrnuto: ako su dijagonale paralelograma normalne, trouglovi $POQ$ i $POS$ su podudarni (SUS: $PO$ zajednička, $OQ = OS$, pravi uglovi kod $O$), pa je $PQ = PS$ i paralelogram je romb.
- Kružnica upisana u romb
- Obe dijagonale romba polove uglove, pa presek $O$ leži na simetralama sva četiri ugla. Tačka na simetrali ugla jednako je udaljena od oba kraka, pa je $O$ jednako udaljena od sve četiri stranice. Kružnica sa centrom $O$ koja dodiruje jednu stranicu dodiruje i ostale tri — to je kružnica upisana u romb. Prava kroz $O$ normalna na $PQ$ normalna je i na $RS$, jer je $PQ \parallel RS$; na njoj su dva poluprečnika, pa je visina romba $h = 2r$, tj. $r = \dfrac{h}{2}$.
- Kvadrat i porodica paralelograma
- Kvadrat je paralelogram kome su svi uglovi pravi i sve stranice jednake — dakle i pravougaonik i romb. Zato ima sva svojstva oba: dijagonale su mu jednake, normalne i polove uglove, pa sa stranicama grade uglove od $90^\circ : 2 = 45^\circ$; oko njega može da se opiše, a u njega da se upiše kružnica, obe sa centrom u preseku dijagonala. Obrnuto ne važi: pravougaonik sa stranicama $4$ cm i $9$ cm nije romb, a romb sa uglom od $70^\circ$ nije pravougaonik. Romb koji nije kvadrat ima dve ose simetrije, prave na kojima leže dijagonale; prava kroz sredine stranica $PQ$ i $RS$ bila bi osa samo kad bi $\angle P = \angle Q$, a to su susedni uglovi, pa bi oba bila prava (isto važi za pravu kroz sredine stranica $QR$ i $SP$).
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\alpha, \beta, \gamma, \delta | uglovi pravougaonika | ° |
| $d_1, d_2$ | dijagonale | cm |
| $a, b$ | susedne stranice | cm |
Paralelogram je pravougaonik ako ima jedan prav ugao ili jednake dijagonale.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $r$ | poluprečnik opisane kružnice | cm |
| $d$ | dijagonala pravougaonika | cm |
Centar je presek dijagonala.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | stranica romba | cm |
| $d_1, d_2$ | dijagonale | cm |
Dijagonale romba polove njegove uglove. Paralelogram je romb ako ima dve jednake susedne stranice ili normalne dijagonale.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $r$ | poluprečnik upisane kružnice | cm |
| $h$ | visina romba | cm |
Centar je presek dijagonala.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $45^\circ$ | ugao između dijagonale i stranice kvadrata | — |
Svaki kvadrat je i pravougaonik i romb, a obrnuto ne važi.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Paralelogram ima jedan prav ugao. Koliko pravih uglova ima taj paralelogram?
2. Koje svojstvo ima svaki pravougaonik, a nema ga svaki paralelogram?
3. Koje svojstvo ima svaki romb, a nema ga svaki pravougaonik?
4. Gde je centar kružnice opisane oko pravougaonika?
5. Koji paralelogram ima jednake dijagonale, a nije kvadrat?
6. Dijagonala romba gradi sa stranicom ugao od $25^\circ$. Koliki je ugao romba kod temena iz kog polazi ta dijagonala?
7. Dijagonala pravougaonika duga je $10$ cm. Koliko je presek dijagonala udaljen od svakog temena?
8. Šta važi i za svaki pravougaonik i za svaki romb, a ne važi za svaki paralelogram?
9. Visina romba je $6$ cm. Koliki je poluprečnik kružnice upisane u taj romb?
10. Koliki ugao gradi dijagonala kvadrata sa njegovom stranicom?
Rešeni zadaci
Pločica u kupatilu ima oblik romba $PQRS$ sa uglom $\angle P = 64^\circ$. Dijagonale se seku u tački $O$. Koliki su uglovi trougla $PQO$?
-
$\angle QPO = 64^\circ : 2 = 32^\circ$Dijagonala $PR$ polovi ugao romba kod temena $P$.
-
$\angle POQ = 90^\circ$Dijagonale romba seku se pod pravim uglom.
-
$\angle PQO = 180^\circ - 32^\circ - 90^\circ = 58^\circ$Zbir uglova trougla je $180^\circ$.
-
Provera: $\angle Q = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$, a $116^\circ : 2 = 58^\circ$I dijagonala $QS$ polovi ugao kod svog temena.
Oko pravougaonika $EFGH$ opisana je kružnica poluprečnika $7{,}5$ cm. Kraća stranica pravougaonika, $FG$, duga je $6$ cm. Kolika je dijagonala pravougaonika i koliki je obim trougla $FOG$, gde je $O$ presek dijagonala?
-
$d = 2 \cdot 7{,}5 = 15$ cmCentar opisane kružnice je $O$, a dijagonala je njen prečnik.
-
$OF = OG = 7{,}5$ cmTemena su na kružnici, pa su udaljena od centra koliko je poluprečnik.
-
$OF + OG + FG = 7{,}5 + 7{,}5 + 6 = 21$ cmObim trougla je zbir njegovih stranica.
Ivan je nacrtao dve duži od po $8$ cm koje se seku pod pravim uglom, pa je spojio njihove krajeve u četvorougao. Kaže: „Dijagonale su jednake i normalne, pa je to kvadrat.“ Da li je u pravu?
-
Ako se duži seku u svojim sredinama, dijagonale se polove: četvorougao je paralelogram.To je jedan od uslova za paralelogram iz prethodnog časa.
-
Taj paralelogram ima jednake dijagonale — pravougaonik je; ima normalne dijagonale — romb je. Dakle, kvadrat.Kvadrat je i pravougaonik i romb.
-
Ali duži mogu da se seku i drugde: npr. prva duž seče drugu u njenoj sredini, a sama je presečena na $2$ cm i $6$ cm.Dijagonale su i dalje jednake ($8$ cm) i normalne.
-
Tada se dijagonale ne polove, pa to nije paralelogram, a ni kvadrat.Dijagonale svakog kvadrata se polove, jer je kvadrat paralelogram.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Dijagonale pravougaonika $TUVZ$ seku se u tački $O$. Dijagonala $TV$ gradi sa stranicom $TU$ ugao od $19^\circ$, tj. $\angle UTV = 19^\circ$. Koliki je ugao $TOU$?
U rombu $KLMN$ je $\angle L = 124^\circ$. Na dijagonali $KM$ izabrana je tačka $E$ tako da je $KE = KL$. Koliki je ugao $LEM$?
Za koliko od sledećih paralelograma sigurno znamo da je pravougaonik? (1) paralelogram kome je jedan ugao prav; (2) paralelogram kome su dijagonale jednake i normalne; (3) paralelogram kome su dve susedne stranice jednake i dijagonale jednake; (4) paralelogram čije su dijagonale normalne. (Može i $0$.)
Figuru čine romb $KLMN$ koji nije kvadrat i kružnica upisana u njega. Koliko osa simetrije ima ta figura?
U rombu $KLMN$ koji nije kvadrat dijagonale se seku u tački $O$. Koliko ima jednakokrakih trouglova čija su sva tri temena među tačkama $K$, $L$, $M$, $N$ i $O$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 38. Konstrukcija paralelograma — šta još treba reći osim dužina dve letvice?