Paralelogram — zašto fioka kutije za alat ostaje vodoravna?
Paralelogram (oba para naspramnih stranica paralelna, oznaka ∥), naspramne stranice i naspramni uglovi jednaki (dokaz podudarnošću trouglova i naizmeničnim uglovima), susedni uglovi suplementni, dijagonale se polove i njihov presek je centar simetrije (dokaz polovinom okreta), kada je četvorougao paralelogram, obim O = 2a + 2b, visine h_a i h_b.
Video
Pojmovi
- Paralelogram
- Četvorougao kome su oba para naspramnih stranica paralelna zove se paralelogram. Za paralelogram $ABCD$ (temena tim redom) to znači: $AB \parallel CD$ i $BC \parallel AD$; znak $\parallel$ čitamo „paralelno“. Obično pišemo $a = AB$ i $b = BC$, a uglove kod temena $A$, $B$, $C$, $D$ obeležavamo sa $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Iz same definicije, uz podudarnost trouglova i uglove na transverzali, dobijamo sve ostale osobine — dokazujemo ih redom u sledećim pojmovima.
- Dijagonala daje dva podudarna trougla
- Povucimo dijagonalu $BD$. Ona je transverzala paralelnih pravih $AB$ i $CD$, pa su naizmenični uglovi $\angle ABD$ i $\angle CDB$ jednaki. Ista dijagonala je transverzala i za paralelne prave $AD$ i $BC$, pa je $\angle ADB = \angle CBD$. Trouglovi $ABD$ i $CDB$ imaju zajedničku stranicu $BD$ i jednake uglove na njenim krajevima, pa su podudarni po stavu USU. Odgovarajući elementi su jednaki: $AB = CD$, $AD = CB$ i $\angle BAD = \angle DCB$, tj. $\alpha = \gamma$. Druga dijagonala, $AC$, na isti način daje $\beta = \delta$. Dakle: naspramne stranice paralelograma su jednake, a i naspramni uglovi su jednaki.
- Susedni uglovi su suplementni
- Stranica $AD$ seče paralelne prave $AB$ i $CD$. Uglovi $\alpha$ i $\delta$ su između tih paralela i sa iste strane transverzale $AD$ — to su suprotni uglovi, pa je $\alpha + \delta = 180^\circ$. Isto važi za svaka dva susedna ugla: $\alpha + \beta = 180^\circ$, $\beta + \gamma = 180^\circ$, $\gamma + \delta = 180^\circ$. Zato je dovoljno znati jedan ugao: ako je $\alpha = 41^\circ$, onda je i $\gamma = 41^\circ$, a $\beta = \delta = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$. Dva ugla paralelograma su uvek ili jednaka (naspramni) ili zajedno imaju $180^\circ$ (susedni).
- Dijagonale se polove
- Neka je $O$ središte dijagonale $AC$ i posmatrajmo centralnu simetriju sa centrom $O$ (pola okreta oko $O$): ona slika $A$ u $C$, a $C$ u $A$. Iz 5. razreda znamo da se prava koja ne prolazi kroz centar slika u pravu paralelnu sa njom. Zato prava $AB$ prelazi u pravu kroz $C$ paralelnu sa $AB$ — a kroz $C$ postoji samo jedna takva prava, $CD$. Isto tako prava $BC$ prelazi u pravu kroz $A$ paralelnu sa $BC$, a to je prava $AD$. Teme $B$ leži i na pravoj $AB$ i na pravoj $BC$, pa njegova slika leži i na pravoj $CD$ i na pravoj $AD$ — a jedina takva tačka je teme $D$. Slika tačke $B$ je $D$, pa je $O$ središte i duži $BD$: $AO = OC$ i $BO = OD$. Kažemo da se dijagonale paralelograma polove. Same dijagonale ne moraju biti iste dužine.
- Centar simetrije
- Ista centralna simetrija sa centrom $O$ zamenjuje temena $A$ i $C$, kao i $B$ i $D$, pa stranicu $AB$ slika u stranicu $CD$, a $BC$ u $DA$ — ceo paralelogram prelazi sam u sebe. Zato je paralelogram centralnosimetrična figura, a njegov centar simetrije je presek dijagonala. Svaka tačka stranice ima svoj par na naspramnoj stranici, a $O$ je središte duži koja ih spaja. Usput opet vidimo da su naspramne stranice jednake: slika duži je duž iste dužine.
- Kako da prepoznamo paralelogram
- Uglovi na transverzali važe i obrnuto: ako transverzala gradi sa dve prave jednake naizmenične uglove (ili suprotne uglove čiji je zbir $180^\circ$), te prave su paralelne. Zato je četvorougao $ABCD$ sigurno paralelogram ako ima: (1) oba para naspramnih stranica jednaka — trouglovi $ABD$ i $CDB$ su tada podudarni po stavu SSS, pa je $\angle ABD = \angle CDB$ i $\angle ADB = \angle CBD$; to su naizmenični uglovi na transverzali $BD$, pa je $AB \parallel CD$ i $AD \parallel BC$; (2) dijagonale koje se polove — centralna simetrija sa centrom u njihovom preseku slika $A$ u $C$ i $B$ u $D$, pa pravu $AB$ u pravu $CD$; slika prave je paralelna sa njom, pa je $AB \parallel CD$, a isto tako $BC \parallel DA$; (3) jedan par naspramnih stranica koje su i paralelne i jednake, npr. $AB \parallel CD$ i $AB = CD$ — trouglovi $ABD$ i $CDB$ su podudarni po stavu SUS ($AB = CD$, $BD$ zajednička, naizmenični uglovi $\angle ABD$ i $\angle CDB$ jednaki), pa je $\angle ADB = \angle CBD$ i zato $AD \paralle
- Visina paralelograma
- Spustimo iz temena $D$ normalu na pravu $AB$ i neka je $E$ tačka u kojoj je ona seče. Duž $DE$ je visina paralelograma na stranicu $a$; obeležavamo je $h_a$, a tako zovemo i njenu dužinu. Prave $AB$ i $CD$ su paralelne, pa normala spuštena iz bilo koje tačke prave $CD$ na pravu $AB$ ima istu dužinu — to je rastojanje između tih pravih. Isto tako je $h_b$ rastojanje između pravih $BC$ i $AD$; iz temena $D$ to je normala na pravu $BC$. Dakle, iz svakog temena polaze dve visine. Podnožje visine može da padne i na produžetak stranice. Visine će nam trebati za površinu paralelograma.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\parallel$ | „paralelno“ | — |
To je definicija; ostale osobine slede iz nje.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | susedne stranice | cm |
| $O$ | obim | cm |
Naspramne stranice su jednake.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\alpha, \gamma$ | naspramni uglovi | ° |
| $\alpha, \beta$ | susedni uglovi | ° |
Jedan ugao određuje sva četiri.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | presek dijagonala, centar simetrije | — |
Dijagonale se polove; ne moraju biti jednake.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $h_a$ | rastojanje između pravih $AB$ i $CD$ | cm |
| $h_b$ | rastojanje između pravih $BC$ i $AD$ | cm |
Podnožje visine može biti i na produžetku stranice.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kako zapisujemo da je stranica $AB$ paralelna sa stranicom $CD$?
2. Ugao kod temena $A$ paralelograma $ABCD$ ima $61^\circ$. Koliki je ugao kod temena $B$?
3. Stranice paralelograma su $9$ cm i $5$ cm. Koliki je njegov obim?
4. Koliko NAJMANJE uglova paralelograma treba da znamo da bismo izračunali sve ostale?
5. Dijagonale paralelograma $ABCD$ seku se u tački $O$. Koja duž je sigurno jednaka duži $AO$?
6. Šta je centar simetrije paralelograma?
7. U paralelogramu $ABCD$ znamo samo da je $AB \parallel CD$ i $AD \parallel BC$. Po kom stavu su trouglovi $ABD$ i $CDB$ podudarni?
8. Šta je visina paralelograma?
9. Koliko visina polazi iz jednog temena paralelograma?
10. Zašto u paralelogramu $ABCD$ važi $\alpha + \delta = 180^\circ$?
Rešeni zadaci
Jana kaže da je nacrtala paralelogram u kome jedan ugao ima $72^\circ$, a neki drugi ugao $114^\circ$. Da li je to moguće? Koliki su uglovi paralelograma koji ima ugao od $72^\circ$?
-
$72^\circ \neq 114^\circ$Da su ta dva ugla naspramna, morala bi da budu jednaka.
-
$72^\circ + 114^\circ = 186^\circ \neq 180^\circ$Da su susedna, zajedno bi imala $180^\circ$. Nije ni jedno ni drugo — takav paralelogram ne postoji.
-
$180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$Ugao od $72^\circ$ ima naspramni ugao od $72^\circ$, a dva susedna, svaki po $108^\circ$.
-
$72^\circ + 108^\circ + 72^\circ + 108^\circ = 360^\circ$Provera: zbir uglova četvorougla je $360^\circ$.
Dijagonale paralelograma $ABCD$ seku se u tački $O$. Prava kroz $O$ (različita od dijagonala) seče stranicu $AB$ u tački $P$, a stranicu $CD$ u tački $Q$. Dokaži da je $OP = OQ$ i da je četvorougao $APCQ$ paralelogram.
-
$AO = CO$Dijagonale paralelograma se polove.
-
$\angle PAO = \angle QCO$Naizmenični uglovi: $AB \parallel CD$, a $AC$ je transverzala.
-
$\angle AOP = \angle COQ$Unakrsni uglovi su jednaki.
-
$\triangle AOP \cong \triangle COQ$ (USU) $\Rightarrow OP = OQ$Stranica $AO$ i uglovi na njenim krajevima jednaki su stranici $CO$ i uglovima na njenim krajevima.
-
$AO = OC$ i $PO = OQ$Dijagonale četvorougla $APCQ$ su $AC$ i $PQ$ i seku se u $O$, koja je središte obe — polove se, pa je $APCQ$ paralelogram.
Uglovi četvorougla $EFGH$, redom kod temena $E$, $F$, $G$, $H$, su: a) $65^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$; b) $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$. Koji od ta dva četvorougla je sigurno paralelogram?
-
a) $\angle E + \angle F = 180^\circ \Rightarrow EH \parallel FG$Na transverzali $EF$ ovi uglovi su suprotni; kad im je zbir $180^\circ$, prave su paralelne.
-
a) $\angle F + \angle G = 180^\circ \Rightarrow EF \parallel GH$Isto na transverzali $FG$. Oba para naspramnih stranica su paralelna — paralelogram.
-
b) $\angle E + \angle H = 180^\circ \Rightarrow EF \parallel GH$Na transverzali $EH$ zbir suprotnih uglova je $180^\circ$.
-
b) $\angle E + \angle F = 130^\circ \neq 180^\circ \Rightarrow EH \nparallel FG$Da su $EH$ i $FG$ paralelne, ovaj zbir bi bio $180^\circ$. Paralelan je samo jedan par stranica.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Dijagonale paralelograma $EFGH$ seku se u tački $O$. Obim trougla $EFO$ je za $5$ cm veći od obima trougla $FGO$, a stranica $EF$ je duga $18$ cm. Koliki je obim paralelograma $EFGH$?
U paralelogramu $KLMN$ ugao kod temena $K$ je oštar. Iz temena $N$ spuštena je visina $NP$ na pravu $KL$ (tačka $P$ je podnožje visine). Visina $NP$ i stranica $NK$ grade ugao od $59^\circ$. Koliki je ugao $\angle LMN$?
U paralelogramu $PQRS$ povučena je dijagonala $PR$. Poznato je: $\angle QPR = 41^\circ$ i $\angle PRQ = 25^\circ$. Koliki je ugao $\angle PSR$?
Dijagonale paralelograma $ABCD$ seku se u tački $O$. Tačka $T$ je na stranici $BC$, bliže temenu $B$. Gde je slika tačke $T$ u centralnoj simetriji sa centrom $O$?
Koji od ovih podataka o četvorouglu $KLMN$ (temena tim redom) sigurno znači da je on paralelogram?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 37. Vrste paralelograma — kako majstor proverava da li je okvir pravougaonik?