Spoljašnji uglovi četvorougla — koliko stepeni zajedno imaju četiri klina na ramu?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Vesnin ram i spoljašnji ugao

Ivice Vesninog rama čine konveksan četvorougao $ABCD$. Kod temena $B$ letvica stranice $AB$ ne staje, nego nastavlja preko $B$: to je produžetak stranice $AB$. Ugao između tog produžetka i stranice $BC$ je spoljašnji ugao četvorougla kod temena $B$ i obeležava se $\beta_1$. Isto tako kod ostalih temena: $\alpha_1$ kod $A$, $\gamma_1$ kod $C$ i $\delta_1$ kod $D$. Ugao jednog Vesninog klina je baš spoljašnji ugao. U ovom času četvorougao je uvek konveksan.

Spoljašnji i unutrašnji ugao kod istog temena

Stranica $AB$ i njen produžetak preko $B$ leže na jednoj pravoj, pa unutrašnji ugao $\beta$ i spoljašnji ugao $\beta_1$ zajedno čine opružen ugao — uporedni su: $\beta_1 = 180^\circ - \beta$. Na primer, uz unutrašnji ugao od $131^\circ$ spoljašnji ugao je $49^\circ$. Zato je spoljašnji ugao oštar uz tup unutrašnji, tup uz oštar, a prav samo uz prav unutrašnji ugao — tada su ta dva ugla jednaka.

Dva spoljašnja ugla kod jednog temena

Kod temena $B$ ukrštaju se dve letvice, pa i stranica $CB$ ima produžetak preko $B$. Ugao između tog produžetka i stranice $AB$ je takođe spoljašnji ugao kod $B$. Ta dva spoljašnja ugla su unakrsni, pa su jednaki — zato kod svakog temena računamo jedan spoljašnji ugao, a Vesni je svejedno sa koje strane letvice zalepi klin.

Zbir spoljašnjih uglova je 360°

Kod svakog temena unutrašnji i spoljašnji ugao zajedno imaju $180^\circ$, a temena su četiri: $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = (180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma) + (180^\circ - \delta) = 4 \cdot 180^\circ - (\alpha + \beta + \gamma + \delta)$. Zbir unutrašnjih uglova četvorougla je $360^\circ$, pa ostaje $720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$, kakav god da je konveksan četvorougao. Zato četiri Vesnina klina zajedno uvek imaju $360^\circ$: složeni jedan do drugog oko jedne tačke, popunili bi pun ugao.

Nije kao kod trougla

Kod trougla je spoljašnji ugao jednak zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla. Kod četvorougla spoljašnji ugao NIJE jednak zbiru unutrašnjih uglova kod ostala tri temena: iz $\alpha = 360^\circ - (\beta + \gamma + \delta)$ sledi $\alpha_1 = 180^\circ - \alpha = (\beta + \gamma + \delta) - 180^\circ$. Na primer, za $\beta = 84^\circ$, $\gamma = 97^\circ$ i $\delta = 109^\circ$ zbir je $290^\circ$, pa je $\alpha_1 = 110^\circ$ (a $\alpha = 70^\circ$). Za dva temena važi zgodno pravilo: $\alpha_1 + \beta_1 = 360^\circ - (\alpha + \beta) = \gamma + \delta$ — zbir spoljašnjih uglova kod dva temena jednak je zbiru unutrašnjih uglova kod druga dva temena. Na primer, iz $\alpha_1 = 65^\circ$ i $\beta_1 = 100^\circ$ sledi $\gamma + \delta = 165^\circ$.

Najviše tri tupa spoljašnja ugla

Spoljašnji ugao je tup tačno onda kad je unutrašnji ugao uz njega oštar. Kad bi sva četiri spoljašnja ugla bila tupa, svaki bi bio veći od $90^\circ$, pa bi zbir bio veći od $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$ — a on je tačno $360^\circ$. Zato četvorougao ima najviše tri tupa spoljašnja ugla. Na primer, spoljašnji uglovi mogu biti $97^\circ$, $102^\circ$ i $109^\circ$, a za četvrti tada ostaje $52^\circ$.

Šta treba znati za svih osam uglova

Kad znamo bilo koji od dva ugla kod nekog temena, znamo i drugi, jer se dopunjuju do $180^\circ$. Zato je za svih osam uglova dovoljno znati po jedan ugao kod tri različita temena, svejedno da li unutrašnji ili spoljašnji; četvrti unutrašnji ugao dobijamo iz zbira $360^\circ$. Na primer, iz $\alpha_1 = 64^\circ$, $\beta = 93^\circ$ i $\gamma_1 = 82^\circ$ dobijamo $\alpha = 116^\circ$, $\beta_1 = 87^\circ$ i $\gamma = 98^\circ$, pa je $\delta = 360^\circ - (116^\circ + 93^\circ + 98^\circ) = 53^\circ$ i $\delta_1 = 127^\circ$. Provera: $64^\circ + 87^\circ + 82^\circ + 127^\circ = 360^\circ$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.