Unutrašnji uglovi četvorougla — zašto se pločice slože bez rupe?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Pločice oko čvora

Pločice koje Tea slaže sve su isti četvorougao sa uglovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i $\delta$. Kada ih složi, oko jednog čvora sretnu se četiri pločice, i to tako da svaka dodiruje čvor drugim svojim uglom: jedna uglom $\alpha$, druga uglom $\beta$, treća uglom $\gamma$, četvrta uglom $\delta$. Pošto oko čvora nema ni rupe ni preklapanja, ta četiri ugla zajedno čine pun ugao: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$. Slaganje nas ubeđuje, ali nije dokaz — ne možemo isprobati sve četvorouglove. Dokaz je u sledećem pojmu.

Zašto uvek važi

Izaberimo bilo koju tačku $O$ u unutrašnjosti konveksnog četvorougla $KLMN$ i spojimo je sa sva četiri temena. Četvorougao se raspadne na četiri trougla: $KLO$, $LMO$, $MNO$ i $NKO$. Zbir uglova svakog trougla je $180^\circ$, pa svi uglovi ta četiri trougla zajedno imaju $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Četiri od tih uglova su kod tačke $O$ i zajedno čine pun ugao, $360^\circ$. Svi ostali su kod temena četvorougla: duž $OK$ deli ugao kod $K$ na dva dela, i tako kod svakog temena, pa ti delovi zajedno čine tačno četiri unutrašnja ugla četvorougla. Zato je $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$, za svaki konveksan četvorougao. (Može i kraće: jedna dijagonala deli konveksan četvorougao na dva trougla, a $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.)

Četvrti ugao

Kada znamo tri ugla, četvrti dobijamo oduzimanjem od punog ugla: $\delta = 360^\circ - (\alpha + \beta + \gamma)$. Za uglove $97^\circ$, $64^\circ$ i $118^\circ$ zbir je $279^\circ$, pa je četvrti ugao $360^\circ - 279^\circ = 81^\circ$. Kada uglovi imaju i minute, $360^\circ$ pišemo kao $359^\circ 60'$: ako tri ugla zajedno imaju $250^\circ 35'$, četvrti je $359^\circ 60' - 250^\circ 35' = 109^\circ 25'$.

U proseku po 90°

Kada bi sva četiri ugla bila jednaka, svaki bi imao $360^\circ : 4 = 90^\circ$ — tako je kod pravougaonika i kvadrata. Zato važi i ovo: ako su tri ugla četvorougla prava, i četvrti je prav ($360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$). Ako je neki ugao manji od $90^\circ$, bar jedan drugi mora biti veći od $90^\circ$, da bi zbir ostao $360^\circ$. Zato četvorougao ne može imati sva četiri ugla oštra (zbir bi bio manji od $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$), niti sva četiri tupa (zbir bi bio veći).

Uglovi zadati odnosima

Ponekad za uglove ne znamo mere, nego samo kako su povezani: „dvostruko veći“, „za $15^\circ$ manji“, „jednak zbiru druga dva“. Tada jedan ugao obeležimo sa $x$, ostale izrazimo pomoću $x$ (dvostruko veći je $2x$, za $15^\circ$ manji je $x - 15^\circ$), saberemo sva četiri i izjednačimo zbir sa $360^\circ$. Rešimo jednačinu, izračunamo sve uglove i proverimo da je svaki veći od $0^\circ$ i manji od $180^\circ$ i da im je zbir zaista $360^\circ$.

Mogu li to biti uglovi četvorougla?

Unutrašnji uglovi konveksnog četvorougla moraju da ispune dva uslova: svaki je veći od $0^\circ$ i manji od opruženog ugla ($180^\circ$), a zbir sva četiri je tačno $360^\circ$. Važi i obrnuto: za svaka četiri takva ugla može se nacrtati konveksan četvorougao. Ako zbir izmerenih uglova nije $360^\circ$, negde je greška u merenju. Pravilo o zbiru $360^\circ$ važi i za nekonveksan četvorougao, kome je jedan ugao veći od opruženog, ali u ovom času četvorougao je konveksan.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.