Osnovni elementi četvorougla — koliko žice treba za ogradu bašte?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Bašta kao četvorougao

Dedina bašta ima četiri kolca $K$, $L$, $M$, $N$ i četiri ivice između njih. To je četvorougao $KLMN$: tačke $K$, $L$, $M$, $N$ su temena, a duži $KL$, $LM$, $MN$ i $NK$ su stranice. Temena pišemo redom kojim se obilazi ivica: $LMNK$ je ista bašta, ali $KMLN$ nije, jer $K$ i $M$ nisu spojeni ogradom. Stranice obeležavamo i malim slovima, npr. $a = KL$, $b = LM$, $c = MN$, $d = NK$.

Unutrašnji uglovi

U svakom temenu dve stranice grade unutrašnji ugao četvorougla. Kod temena $L$ to su stranice $LK$ i $LM$, pa ugao pišemo $\angle KLM$ — slovo temena je uvek u sredini. Četvorougao $KLMN$ ima četiri unutrašnja ugla: $\angle NKL$, $\angle KLM$, $\angle LMN$ i $\angle MNK$. Kraće ih pišemo $\angle K$, $\angle L$, $\angle M$, $\angle N$ ili grčkim slovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, redom kao temena. Stranice i unutrašnji uglovi su osnovni elementi četvorougla.

Susedno i naspramno

Svako teme ima dva suseda — temena sa kojima ga spaja stranica — i jedno naspramno teme, sa kojim ga ne spaja nijedna stranica. Za teme $K$ susedi su $L$ i $N$, a naspramno je $M$. Isto važi za stranice: svaka ima dve susedne (sa zajedničkim temenom) i jednu naspramnu (bez zajedničkog temena); stranici $KL$ susedne su $LM$ i $NK$, a naspramna je $MN$. Uglovi kod susednih temena su susedni ($\angle K$ i $\angle L$), a kod naspramnih temena naspramni ($\angle K$ i $\angle M$).

Konveksan i nekonveksan

Izaberi u bašti bilo koje dve tačke i spoji ih pravom stazom (duži). Ako staza nikad ne napusti baštu, kako god da izabereš tačke, četvorougao je konveksan. Nekonveksan četvorougao ima „udubljenje“: jedan njegov unutrašnji ugao veći je od opruženog, pa za neke dve tačke prava staza između njih prelazi preko udubljenja, van četvorougla. U ovom času i u sledećim časovima o četvorouglu četvorougao je uvek konveksan.

Dijagonale

Duž koja spaja dva naspramna temena zove se dijagonala. Svako od četiri temena ima tačno jedno naspramno, a dijagonala spaja dva temena, pa četvorougao ima $4 : 2 = 2$ dijagonale: $KM$ i $LN$ (često ih obeležavamo sa $d_1$ i $d_2$). Dijagonala nije stranica: ide kroz unutrašnjost bašte, pa za ogradu ne treba. U konveksnom četvorouglu svaka dijagonala ga deli na dva trougla: $LN$ deli baštu na trouglove $KLN$ i $LMN$.

Obim i kada četvorougao postoji

Obim četvorougla je zbir dužina njegovih stranica: $O = a + b + c + d$. Za dedinu baštu sa stranicama $12{,}5$ m, $9$ m, $14$ m i $8{,}5$ m treba $44$ m žice — dijagonale se ne računaju. Ne mogu bilo koje četiri dužine da budu stranice: najduža mora biti kraća od zbira ostale tri. Ako je zbir ostale tri manji od najduže, one ne stižu od jednog do drugog njenog kraja; ako je jednak, sve tri bi legle na najdužu i ne bi bilo četvorougla. Zato se letvice od $5$, $6$, $7$ i $19$ dm ne mogu sklopiti u okvir: $5 + 6 + 7 = 18 < 19$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.