Razmera i proporcija — koliko sirupa ide u bokal soka?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Razmera

Kada Sara sipa $1$ deo sirupa na $4$ dela vode, kažemo da su sirup i voda u razmeri $1 : 4$ („jedan prema četiri“). Razmera dva broja $a$ i $b$, gde su $a \neq 0$ i $b \neq 0$, je njihov količnik $a : b$, koji pišemo i kao razlomak $\frac{a}{b}$. Razmeru, kao razlomak, možemo skratiti ili proširiti: $60 : 240 = 1 : 4$.

Podela u razmeri

Bokal od $2$ litra ($2\,000$ ml) treba podeliti u razmeri $1 : 4$: to je $1 + 4 = 5$ jednakih delova po $400$ ml. Sirupa je $1$ deo, $400$ ml, a vode $4$ dela, $1\,600$ ml. Isto radimo i sa tri broja: u razmeri $1 : 2 : 4$ ima $7$ delova. Ako je data razlika, npr. u razmeri $2 : 3$ drugi ima $90$ g više, onda je $1$ deo $90$ g.

Proporcija

U bokalu je $400 : 1\,600 = 1 : 4$ — razmera je ista kao na flaši. Jednakost dve razmere zovemo proporcija: $a : b = c : d$, odnosno $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Brojevi $a$ i $d$ su spoljašnji, a $b$ i $c$ unutrašnji članovi proporcije.

Unakrsno množenje

Ako je $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, proširimo oba razlomka na isti imenilac $b \cdot d$: dobijamo $\frac{a \cdot d}{b \cdot d} = \frac{b \cdot c}{b \cdot d}$. Jednaki razlomci sa istim imeniocem imaju jednake brojioce, pa je $a \cdot d = b \cdot c$ — proizvod spoljašnjih jednak je proizvodu unutrašnjih članova. Za lonac: sirup $x$ prema $5$ litara vode je $1 : 4$, pa iz $x : 5 = 1 : 4$ sledi $4x = 5$ i $x = 1{,}25$ l.

Zamena mesta i razmera tri broja

Iz $a \cdot d = b \cdot c$ vidimo da se proporcija ne pokvari ako zamenimo mesta spoljašnjim ili unutrašnjim članovima: iz $a : b = c : d$ sledi i $d : b = c : a$ i $a : c = b : d$. Tako $x : 6 = 7 : 3$ postaje $x : 7 = 6 : 3$, pa je $x = 14$. Ako je $a : b = 2 : 3$ i $b : c = 4 : 5$, proširimo razmere da $b$ bude isto: $8 : 12$ i $12 : 15$, pa je $a : b : c = 8 : 12 : 15$.

Proporcija u primenama

Kod direktne proporcionalnosti razmera dve vrednosti jedne veličine jednaka je razmeri odgovarajućih vrednosti druge — npr. rastojanje na karti i u prirodi: na karti $1 : 50\,000$, $1$ cm na karti je $500$ m u prirodi. Kod obrnute proporcionalnosti razmera je obrnuta: $x_1 : x_2 = y_2 : y_1$. Ako $3$ slavine napune bure za $20$ minuta, $5$ slavina ga napune za $x$ minuta, gde je $3 : 5 = x : 20$, pa je $x = 12$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.