Obrnuta proporcionalnost — kako složiti 24 pločice u pravougaonik?
Obrnuto proporcionalne veličine: x · y = k, odnosno y = k : x (k ≠ 0, x ≠ 0), koeficijent obrnute proporcionalnosti, poređenje sa direktnom proporcionalnošću, mašine i radnici i vreme, brzina i vreme, prepoznavanje u tabeli (stalan proizvod), zadaci sa više veličina.
Video
Pojmovi
- Ninine pločice
- Od $24$ pločice Nina slaže pravougaonik. Sa $2$ reda u svakom redu je $12$ pločica, sa $3$ reda po $8$, sa $4$ reda po $6$, sa $6$ redova po $4$. Kada se broj redova udvostruči (sa $2$ na $4$), broj pločica u redu se prepolovi (sa $12$ na $6$). Proizvod je uvek isti: $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 6 \cdot 4 = 24$.
- Direktna ili obrnuta?
- U prošlom času je kod direktne proporcionalnosti bio stalan količnik $y : x$, pa (kada je $k > 0$) obe veličine rastu zajedno: više sveski — veća cena. Kod Ninih pločica je stalan proizvod $x \cdot y$: koliko se puta jedna veličina poveća, toliko se puta druga smanji. Takve veličine zovemo obrnuto proporcionalnim.
- Mašine, radnici i vreme
- Ako tri jednako jake pumpe napune bazen za $8$ sati, jedna bi ga punila tri puta duže, $24$ sata, a četiri pumpe $24 : 4 = 6$ sati. Ovde je $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24$: toliko sati bi posao trajao jednoj pumpi. Isto važi za brzinu i vreme na istom putu: $240$ km brzinom $60$ km/h traje $4$ h, a brzinom $80$ km/h traje $3$ h.
- Kako je prepoznati u tabeli
- Za svaki par iz tabele pomnožimo $x$ i $y$. Ako je proizvod uvek isti, veličine su obrnuto proporcionalne. Parovi $(2;\ 18)$, $(3;\ 12)$, $(9;\ 4)$ imaju proizvod $36$. Ali to što $y$ opada dok $x$ raste još ne znači obrnutu proporcionalnost: kod $(2;\ 18)$ i $(3;\ 17)$ proizvodi su $36$ i $51$.
- Obrnuta proporcionalnost
- Veličine $x$ i $y$ su obrnuto proporcionalne ako postoji broj $k \neq 0$ takav da je $x \cdot y = k$ za sve parove, odnosno $y = \frac{k}{x}$. Broj $k$ je koeficijent obrnute proporcionalnosti. Pošto je $k \neq 0$, ni $x$ ni $y$ ne mogu biti nula. Kod Ninih pločica je $k = 24$, a kod pumpi $k = 24$ sata rada jedne pumpe.
- Zadaci sa više veličina
- Kada se menja više veličina, menjamo ih jednu po jednu. Ako $4$ štampača odštampaju $6$ hiljada letaka za $3$ sata, jedan štampač za $6$ hiljada treba $12$ sati, za jednu hiljadu $2$ sata, a za $9$ hiljada $18$ sati. Dva štampača za $9$ hiljada trebaju $18 : 2 = 9$ sati. Uz svaki korak se pitamo: da li je ta zavisnost direktna ili obrnuta?
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $k$ | koeficijent obrnute proporcionalnosti | — |
| $x, y$ | obrnuto proporcionalne veličine | — |
Stalan je proizvod.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $k$ | koeficijent | — |
Kod direktne je stalan količnik, kod obrnute proizvod.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kada su veličine $x$ i $y$ obrnuto proporcionalne?
2. Ako se broj jednako jakih pumpi udvostruči, šta se desi sa vremenom punjenja istog bazena?
3. Kako izračunavamo koeficijent obrnute proporcionalnosti iz para $(x, y)$?
4. Koja zavisnost je obrnuta proporcionalnost?
5. Ako je $x \cdot y = 60$ i $x = 4$, koliko je $y$?
6. Parovi $(1;\ 30)$, $(2;\ 15)$, $(5;\ 6)$ prikazuju:
7. Da li parovi $(2;\ 10)$, $(4;\ 8)$, $(5;\ 7)$ prikazuju obrnutu proporcionalnost?
8. Šta je stalno kod direktne, a šta kod obrnute proporcionalnosti?
9. Pica je podeljena na jednake delove. Kako su povezani broj delova i veličina jednog dela?
10. Može li u obrnutoj proporcionalnosti $x$ biti $0$?
Rešeni zadaci
Kada put do planine vozimo brzinom $75$ km/h, traje $4$ h. Koliko traje brzinom $100$ km/h?
-
$k = 75 \cdot 4 = 300$ (km)Put je isti, pa su brzina i vreme obrnuto proporcionalni; $k$ je dužina puta.
-
$t = 300 : 100 = 3$ hIz $x \cdot y = k$ sledi $y = k : x$.
Da li tabela prikazuje obrnutu proporcionalnost? $x$: $2$, $5$, $8$; $y$: $20$, $8$, $5$.
-
$2 \cdot 20 = 40$; $5 \cdot 8 = 40$; $8 \cdot 5 = 40$Pomnožimo $x$ i $y$ u svakom paru.
-
Proizvod je uvek $40$, pa jeste: $y = \frac{40}{x}$.Koeficijent je $k = 40$.
$5$ jednakih kosilica pokosi $4$ livade za $6$ sati. Za koliko sati $3$ takve kosilice pokose $2$ livade?
-
Jedna kosilica za $4$ livade: $5 \cdot 6 = 30$ sati; za jednu livadu $30 : 4 = 7{,}5$ satiManje kosilica — duže (obrnuto); manje posla — kraće (direktno).
-
Za $2$ livade: $7{,}5 \cdot 2 = 15$ sati; $3$ kosilice: $15 : 3 = 5$ satiMenjamo jednu po jednu veličinu.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Bazen pune pumpe koje rade jednako jako. Kada radi $6$ pumpi, bazen se napuni za $5$ h. Za koliko sati se napuni ako rade $2$ pumpe?
Date su četiri tabele, svaka sa tri para $(x;\ y)$: (1) $(3;\ 8)$, $(8;\ 3)$, $(12;\ 2)$; (2) $(1;\ 120)$, $(4;\ 30)$, $(8;\ 15)$; (3) $(1;\ 36)$, $(6;\ 6)$, $(10;\ 4{,}6)$; (4) $(4;\ 3)$, $(5;\ 2{,}4)$, $(10;\ 1{,}2)$. Koliko tabela prikazuje obrnutu proporcionalnost? (Može i $0$.)
$4$ jednaka štampača odštampaju $6$ hiljada letaka za $3$ sata. Za koliko sati $2$ takva štampača odštampaju $4$ hiljade letaka?
Veličine $x$ i $y$ su obrnuto proporcionalne; za $x = 6$ je $y = 1{,}5$. Koliko je $y$ za $x = 0{,}5$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 32. Razmera i proporcija — koliko sirupa ide u bokal soka?