Direktna proporcionalnost — koliko košta korpa jagoda?
Direktno proporcionalne veličine y = k·x (k ≠ 0), koeficijent proporcionalnosti kao stalan količnik y : x, tabela i grafik (tačke na pravoj kroz koordinatni početak), procenti i popust (y = (1 − p/100)·x), proporcionalna podela, provera da li su veličine iz tabele direktno proporcionalne.
Video
Pojmovi
- Cena raste kao masa
- Ako je kilogram jagoda $320$ dinara, dva kilograma koštaju dva puta više, a pola kilograma dva puta manje. Cena $y$ i masa $x$ menjaju se „u istom ritmu“: koliko puta se poveća jedna, toliko puta se poveća i druga. Zapisujemo $y = 320 \cdot x$.
- Direktna proporcionalnost
- Veličine $x$ i $y$ su direktno proporcionalne ako postoji broj $k \neq 0$ takav da je za svaku vrednost $x$ ispunjeno $y = k \cdot x$. Broj $k$ je koeficijent proporcionalnosti. On je za sve parove isti količnik: $k = y : x$ (za $x \neq 0$). Kod jagoda je $k = 320$ dinara po kilogramu.
- Kako prepoznati direktnu proporcionalnost u tabeli
- Za svaki par iz tabele podelimo $y$ sa $x$. Ako svaki put dobijemo isti broj, veličine su direktno proporcionalne i taj broj je $k$. Na primer, za parove $(4, 6)$, $(10, 15)$ i $(-6, -9)$ količnik je uvek $1{,}5$. Ako se samo jedan količnik razlikuje, veličine nisu direktno proporcionalne. Zavisnost $y = x + 3$ nije direktna proporcionalnost: za $x = 1$ je $y : x = 4$, a za $x = 2$ je $y : x = 2{,}5$.
- Grafik
- Kada parove direktno proporcionalnih veličina unesemo u koordinatni sistem, sve tačke leže na jednoj pravoj koja prolazi kroz koordinatni početak $O$: za $x = 0$ je $y = k \cdot 0 = 0$. Kada je $k > 0$, prava raste, a kada je $k < 0$, opada; što je $k$ dalje od nule, prava je strmija. Na grafiku cene jagoda tačke $(0{,}5;\ 160)$, $(1;\ 320)$ i $(2{,}5;\ 800)$ su na istoj pravoj.
- Proporcionalna podela
- Kada iznos delimo direktno proporcionalno brojevima, npr. $3$ i $5$, delovi su $3 \cdot k$ i $5 \cdot k$. Njihov zbir je $8 \cdot k$ i jednak je celom iznosu, pa $k$ dobijamo deljenjem iznosa sa $8$. Tako $1\,600$ dinara podeljeno proporcionalno sa $3$ i $5$ daje $600$ i $1\,000$ dinara.
- Procenti i popust
- Deo veličine izražen procentima takođe je direktna proporcionalnost: $15\,\%$ od $x$ je $y = 0{,}15 \cdot x$. Kod popusta od $20\,\%$ plaćamo $80\,\%$ obične cene: $y = x - 0{,}2 \cdot x = 0{,}8 \cdot x$, pa je $k = 0{,}8$. Iz snižene cene dobijamo staru deljenjem: $x = y : 0{,}8$. Procenat može biti i decimalan broj, npr. $12{,}5\,\%$ je $0{,}125$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $k$ | koeficijent proporcionalnosti | — |
| $x, y$ | direktno proporcionalne veličine | — |
Grafik je prava kroz koordinatni početak.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $p$ | popust u procentima | % |
| $x$ | obična cena | din |
| $y$ | snižena cena | din |
Kod popusta od $20\,\%$ je $k = 0{,}8$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kada su veličine $x$ i $y$ direktno proporcionalne?
2. Kako izračunavamo koeficijent proporcionalnosti iz para $(x, y)$, $x \neq 0$?
3. Kako izgleda grafik direktne proporcionalnosti?
4. Ako se kod direktno proporcionalnih veličina $x$ utrostruči, šta se desi sa $y$?
5. Koja zavisnost je direktna proporcionalnost?
6. Ako je $x = 4$ i $y = 10$, koliki je koeficijent direktne proporcionalnosti?
7. Kolika je snižena cena stvari čija je obična cena $x$, kod popusta od $30\,\%$?
8. Koliko je $12\,\%$ od $x$?
9. Može li koeficijent direktne proporcionalnosti biti negativan, npr. $y = -2 \cdot x$?
10. Iznos delimo direktno proporcionalno brojevima $2$ i $7$. Koliki deo iznosa dobija prvi?
Rešeni zadaci
Pakovanje od $250$ g kafe košta $480$ dinara. Koliko košta $400$ g iste kafe?
-
$k = 480 : 250 = 1{,}92$ dinara po gramuCena je direktno proporcionalna masi.
-
$y = 1{,}92 \cdot 400 = 768$ dinaraUvrstimo $x = 400$.
Tablet košta $18\,000$ dinara, a popust je $35\,\%$. Kolika je snižena cena i koliki je koeficijent $k$?
-
$y = (1 - 0{,}35) \cdot x = 0{,}65 \cdot x$Plaćamo $65\,\%$ cene, pa je $k = 0{,}65$.
-
$y = 0{,}65 \cdot 18\,000 = 11\,700$ dinaraIsto: popust je $6\,300$ dinara, a $18\,000 - 6\,300 = 11\,700$.
Da li su veličine iz tabele direktno proporcionalne? $x$: $5$, $-2$, $8$; $y$: $-3$, $1{,}2$, $-4{,}8$.
-
$-3 : 5 = -0{,}6$; $1{,}2 : (-2) = -0{,}6$; $-4{,}8 : 8 = -0{,}6$Za svaki par delimo $y$ sa $x$.
-
Količnik je uvek isti, pa jesu, i $k = -0{,}6$.Koeficijent može biti i negativan; tada prava kroz $O$ opada.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Autobus ravnomerno pređe $150$ km za $2{,}5$ h. Koliko kilometara pređe za $1{,}5$ h?
Na sniženju je popust $15\,\%$ na sve. Snižena cena $y$ direktno je proporcionalna običnoj ceni $x$: $y = k \cdot x$. Koliki je koeficijent proporcionalnosti $k$? (Odgovor kao decimalni broj.)
Teodora i Vuk treba da podele $480$ dinara direktno proporcionalno brojevima $4$ i $2$ (sati koje su radili u bašti: Teodora $4$, Vuk $2$). Koliko dinara dobija Teodora?
U tabeli je $x$: $3$, $8$, $-5$, a $y$: $7{,}5$, $20$, $-12$. Šta važi?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 31. Obrnuta proporcionalnost — kako složiti 24 pločice u pravougaonik?