Zavisnosti među veličinama — kako raste Enin pasulj?
Veličine i njihova zavisnost (nezavisna i zavisna veličina), prikaz zavisnosti tabelom, histogramom, tačkastim dijagramom i grafikonom, čitanje podataka iz prikaza (najveća i najmanja vrednost, rast i opadanje), dopunjavanje tabele po pravilu.
Video
Pojmovi
- Enino merenje
- Ena svakog jutra zapiše dva broja: koji je dan po redu i koliko je pasulj visok. Sve što možemo da izrazimo brojem, obično uz jedinicu, zovemo veličina: broj golova na utakmici, brzina bicikla u km/h, masa ranca u kilogramima, visina pasulja u centimetrima.
- Šta od čega zavisi
- Visina pasulja menja se iz dana u dan: kažemo da visina zavisi od broja dana. Dve veličine su zavisne ako se sa promenom jedne menja i druga. Veličinu koju biramo (dan) zovemo nezavisnom, a onu koja se zbog nje menja (visina) zavisnom. Ponekad sami biramo koju ćemo smatrati nezavisnom. Ima i veličina koje ne zavise jedna od druge, npr. veličina obuće i ocena iz matematike.
- Tabela i parovi
- Ena je merenja upisala u tabelu: u gornjem redu dani $1$ do $7$, u donjem visine $2, 3, 5, 9, 11, 14, 15$ cm. Svaka kolona je jedan uređen par, npr. $(4, 9)$: četvrtog dana pasulj je visok $9$ cm. Iz tabele lako čitamo najveću i najmanju vrednost i za koliko se vrednost promenila.
- Grafikon — kada je najviše porastao
- Da bi videla kada je pasulj najbrže rastao, Ena svaki par unese kao tačku u koordinatni sistem: dan na $x$-osu, visinu na $y$-osu. To je tačkasti dijagram. Zatim poređa tačke po danima i spoji susedne dužima — dobije grafikon. Deo linije koji ide naviše znači rast, a naniže pad. Kada su razmaci na $x$-osi jednaki (uzastopni dani), strmiji deo znači veću promenu.
- Histogram
- Isto merenje možemo prikazati i stubićima: iznad svakog dana stoji stubić visok onoliko koliko je izmerena vrednost. To je histogram. Na uspravnoj osi biramo podeoke, npr. jedan podeok za $2$ cm, tako da stane i najveća vrednost. Najviši stubić odmah pokazuje najveću vrednost.
- Pravilo zavisnosti
- Kod pasulja nema računa — vrednosti samo izmerimo. Ali neke zavisnosti imaju pravilo: ako jedna karta za bazen košta $350$ dinara, cena $x$ karata je $y = 350 \cdot x$, a obim kvadrata stranice $x$ je $y = 4 \cdot x$. Pravilo možemo da otkrijemo iz nekoliko parova tabele i onda njime dopunjavamo tabelu u oba smera.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x$ | nezavisna veličina (na $x$-osi) | — |
| $y$ | zavisna veličina (na $y$-osi) | — |
Svaka kolona tabele je jedna tačka dijagrama.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $y$ | obim kvadrata | cm |
| $x$ | dužina stranice | cm |
Iz pravila računamo i $x = y : 4$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je veličina?
2. Kada su dve veličine zavisne?
3. Šta na histogramu pokazuje vrednost zavisne veličine?
4. Šta dobijamo kada susedne tačke tačkastog dijagrama spojimo dužima?
5. Šta obično unosimo na $x$-osu?
6. Karte za bioskop koštaju isto. Od čega zavisi koliko plaćamo?
7. U Eninoj tabeli dan $\to$ visina, šta znači par $(6, 14)$?
8. Ako je $y$ obim kvadrata stranice $x$, koliko je $y$ za $x = 3{,}5$ cm?
9. Kako dobijamo tačkasti dijagram?
10. Koliko tačaka ima tačkasti dijagram tabele sa $7$ kolona?
Rešeni zadaci
Enina tabela: dan $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$; visina $2, 3, 5, 9, 11, 14, 15$ cm. Između koja dva merenja je pasulj najviše porastao i za koliko?
-
Porasti: $3 - 2 = 1$, $5 - 3 = 2$, $9 - 5 = 4$, $11 - 9 = 2$, $14 - 11 = 3$, $15 - 14 = 1$Od svake visine oduzmemo prethodnu.
-
Najveći porast je $4$ cm, od trećeg do četvrtog dana.Na grafikonu je tu linija najstrmija.
U tabeli je $x$ stranica kvadrata, a $y$ obim (u cm). Dopuni: $x = 1{,}5$; $x = \frac{2}{5}$; $y = 18$.
-
$y = 4 \cdot 1{,}5 = 6$ cm; $y = 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6$ cmPravilo $y = 4 \cdot x$.
-
$x = 18 : 4 = 4{,}5$ cmObrnuto: delimo sa $4$.
Na histogramu Ognjenovog paradajza stubići iznad dana $1$ do $5$ dosežu do $4$, $7$, $7$, $10$ i $12$ podeoka, a jedan podeok je $1$ cm. Napiši tabelu i reci kada visina nije rasla.
-
Tabela: dan $1, 2, 3, 4, 5$; visina $4, 7, 7, 10, 12$ cmVisina stubića (u podeocima) puta vrednost podeoka.
-
Od drugog do trećeg dana stubići su jednaki: $7 = 7$.Na grafikonu bi taj deo linije bio vodoravan.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Bioskop je beležio koliko je karata prodao svakog dana: ponedeljak $85$, utorak $120$, sreda $140$, četvrtak $130$, petak $105$, subota $120$, nedelja $115$. Koliko dana je vrednost bila veća od $125$?
U tabeli: $x$ je broj litara goriva, a $y$ broj kilometara koje automobil pređe (troši stalno isto). Poznati parovi: $x = 20$, $y = 250$; $x = 4$, $y = 50$; $x = 8$, $y = 100$. Koliko je $y$ za $x = 2$?
Grafikon prikazuje kako se menjala temperatura vode u bazenu (u °C) od $8$ do $14$ h. Tačke grafikona su $(8, 21)$, $(9, 23)$, $(10, 25)$, $(11, 23)$, $(12, 22)$, $(13, 21)$, $(14, 23)$, a susedne tačke su spojene dužima. Koliko delova izlomljene linije ide naniže?
Koje dve veličine NISU zavisne?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 30. Direktna proporcionalnost — koliko košta korpa jagoda?