Koordinatni sistem — kako da Mila pogodi Ognjenov brod?
Pravougli (Dekartov) koordinatni sistem: x-osa (apscisna), y-osa (ordinatna), koordinatni početak, koordinatna ravan; koordinate tačke T(a, b) — apscisa i ordinata, uređen par (redosled je važan); kvadranti i znaci koordinata, tačke na osama (a, 0) i (0, b); simetrične tačke u odnosu na ose i koordinatni početak; rastojanje tačaka sa istom apscisom ili ordinatom.
Video
Pojmovi
- Dva broja i njihov redosled
- Da bi Mila pogodila brod, Ognjen mora da kaže dva broja i da se dogovore koji ide prvi. Skup $\{2, 3\}$ samo kaže koji su brojevi tu. Par $(2, 3)$ kaže i koji je prvi, zato ga zovemo uređen par: $(2, 3)$ i $(3, 2)$ su dva različita polja na tabli.
- Koordinatni sistem
- Ideju je smislio francuski matematičar Rene Dekart, pa se ovaj sistem zove i Dekartov. Uzmemo dve brojne prave sa istom jediničnom duži i postavimo ih pod pravim uglom tako da se seku u tački koja je na obe prave nula. Tu tačku zovemo koordinatni početak $O(0, 0)$. Vodoravna prava je $x$-osa (apscisna osa), uspravna je $y$-osa (ordinatna osa), a cela ravan sa njima je koordinatna ravan.
- Koordinate tačke
- Tačku $M(-4;\ 1{,}5)$ nalazimo ovako: iz $O$ idemo $4$ jedinice ulevo, pa $1{,}5$ jedinica nagore. Prvi broj je apscisa ($x$-koordinata), drugi ordinata ($y$-koordinata). I obrnuto: kad se iz tačke spustimo pravo do $x$-ose, stižemo na broj koji je njena apscisa, a kad krenemo vodoravno do $y$-ose — na ordinatu. Koordinate mogu biti bilo koji racionalni brojevi.
- Kvadranti i tačke na osama
- Ose dele ravan na četiri dela — kvadranta, koje označavamo rimskim brojevima, počev od gornjeg desnog, suprotno od kretanja kazaljke na satu. Znaci koordinata su: I $(+, +)$, II $(-, +)$, III $(-, -)$, IV $(+, -)$. Tačka na $x$-osi ima ordinatu $0$, npr. $(-2{,}5;\ 0)$, a tačka na $y$-osi apscisu $0$, npr. $(0, 7)$. Tačke na osama ne pripadaju nijednom kvadrantu. Rastojanje tačke od $y$-ose je apsolutna vrednost apscise, a od $x$-ose apsolutna vrednost ordinate.
- Simetrične tačke
- Tačka simetrična tački $(a, b)$ u odnosu na $x$-osu je $(a, -b)$, u odnosu na $y$-osu je $(-a, b)$, a u odnosu na koordinatni početak $(-a, -b)$. Na primer, za $(6, -1)$ to su $(6, 1)$, $(-6, -1)$ i $(-6, 1)$. Kod osne simetrije duž između tačke i njene slike normalna je na osu i osa je deli na pola; kod simetrije u odnosu na $O$, tačka $O$ je središte te duži.
- Rastojanje tačaka na istoj uspravnoj ili vodoravnoj pravoj
- Ako tačke $A(p, y_1)$ i $B(p, y_2)$ imaju istu prvu koordinatu, leže na pravoj paralelnoj sa $y$-osom i njihovo rastojanje je $|y_1 - y_2|$. Ako $C(x_1, q)$ i $D(x_2, q)$ imaju istu drugu koordinatu, rastojanje je $|x_1 - x_2|$. Na primer, $(-1;\ 4)$ i $(-1;\ -2{,}5)$ su udaljene $|4 - (-2{,}5)| = 6{,}5$ jedinica.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | apscisa ($x$-koordinata) | — |
| $b$ | ordinata ($y$-koordinata) | — |
Uređen par: redosled je važan.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | koordinatni početak $(0, 0)$ | — |
Kod simetrije u odnosu na $O$, tačka $O$ je središte duži između tačke i slike.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $|x|$ | apsolutna vrednost | — |
Samo za tačke sa istom apscisom ili istom ordinatom.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kako se još zove $x$-osa?
2. U zapisu $M(a, b)$ broj $b$ je:
3. Da li su $(3, -1)$ i $(-1, 3)$ ista tačka?
4. U kom kvadrantu su tačke kojima su obe koordinate negativne?
5. Koje koordinate ima koordinatni početak?
6. Svaka tačka $x$-ose ima:
7. Koja tačka je simetrična tački $(a, b)$ u odnosu na $y$-osu?
8. Koja tačka je simetrična tački $(4, -2)$ u odnosu na koordinatni početak?
9. Koliko je tačka $(-5, 2)$ udaljena od $y$-ose?
10. Iz tačke $K(m, n)$ spustimo normalu na $x$-osu. Gde je njeno podnožje?
Rešeni zadaci
Tačka $E$ je u III kvadrantu, $2{,}5$ jedinica udaljena od $x$-ose i $4$ jedinice od $y$-ose. Koje su njene koordinate?
-
U III kvadrantu su obe koordinate negativne.Znaci $(-, -)$.
-
Od $y$-ose je udaljena $|$apscisa$| = 4$, a od $x$-ose $|$ordinata$| = 2{,}5$.Rastojanje od ose je apsolutna vrednost druge koordinate.
Tačka $V_1(3;\ -0{,}5)$ je slika tačke $V$ u simetriji u odnosu na $y$-osu. Koje su koordinate tačke $V$?
-
Simetrija u odnosu na $y$-osu menja znak apscise, a ordinata ostaje.Ako vratimo sliku istom simetrijom, dobijamo početnu tačku.
-
$V(-3;\ -0{,}5)$Provera: $V$ je u III, a $V_1$ u IV kvadrantu.
Koliko su udaljene tačke $R\left(-\frac{3}{2}, 1\right)$ i $S\left(\frac{5}{4}, 1\right)$?
-
Druge koordinate su iste, pa je rastojanje $\left|\frac{5}{4} - \left(-\frac{3}{2}\right)\right|$.Razlika apscisa.
-
$\left|\frac{5}{4} + \frac{6}{4}\right| = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$Oduzimanje negativnog broja je dodavanje suprotnog.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Date su tačke $E\left(-6,\ 3\right)$, $F\left(-\frac{4}{5},\ 3\right)$, $G\left(-\frac{17}{4},\ -\frac{9}{2}\right)$, $H\left(\frac{21}{4},\ -\frac{17}{5}\right)$, $J\left(6,\ \frac{23}{4}\right)$. Koliko ih je u II kvadrantu?
Tačka $T_1\left(-\frac{18}{5},\ -5\right)$ je slika tačke $T$ u osnoj simetriji u odnosu na $x$-osu. Kolika je ordinata tačke $T$? (Odgovor napiši kao ceo broj, decimalni broj ili razlomak, npr. −5/4.)
Kolika je dužina duži $MN$ ako je $M\left(2{,}6;\ 4{,}5\right)$ i $N\left(2{,}6;\ -4{,}6\right)$? Jedinična duž je $1$ cm. (Odgovor u cm.)
Tačke $R(-2;\ 1{,}5)$ i $S(2;\ -1{,}5)$ su simetrične u odnosu na:
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 29. Zavisnosti među veličinama — kako raste Enin pasulj?