Primene stavova podudarnosti — gde da se nađu tri drugara?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Mesto jednako udaljeno od dve kuće

Neka je $N$ središte duži $KL$, a $T$ tačka simetrale te duži (za $T = N$ tvrđenje je očigledno). Trouglovi $KNT$ i $LNT$ imaju $KN = LN$, prave uglove kod $N$ i zajedničku stranicu $NT$, pa su podudarni (SUS) i $TK = TL$. Dakle, svaka tačka simetrale duži jednako je udaljena od njenih krajeva. Važi i obrnuto: tačka jednako udaljena od $K$ i $L$ leži na simetrali duži $KL$ (dokaz je u prvom rešenom primeru).

Opisana kružnica — mesto za klupu

Klupa mora biti jednako udaljena od kuća $K$, $L$ i $M$. Jednako udaljena od $K$ i $L$ je na simetrali duži $KL$, a od $L$ i $M$ na simetrali duži $LM$. Njihov presek $O$ ima $OK = OL = OM$, pa je i na simetrali duži $KM$: sve tri simetrale stranica seku se u jednoj tački. Kružnica sa centrom $O$ kroz sva tri temena je opisana kružnica trougla; za njen centar je dovoljno nacrtati dve simetrale stranica.

Gde je centar opisane kružnice

Kod oštrouglog trougla centar je unutar trougla, a kod tupouglog van trougla. Kod pravouglog trougla je u središtu hipotenuze. Zašto? Neka je u trouglu $DEF$ prav ugao kod $F$ i neka simetrala katete $FE$ seče hipotenuzu u tački $O$. Tada je $OF = OE$, pa je $\angle OFE = \angle E$. Zato je $\angle OFD = 90^\circ - \angle E = \angle D$, pa je i $OD = OF$. Dakle $OD = OE = OF$: $O$ je središte hipotenuze, a poluprečnik je polovina hipotenuze.

Mesto jednako udaljeno od dve staze

Rastojanje tačke od prave je dužina normale iz tačke na tu pravu. Neka je $T$ tačka simetrale ugla sa temenom $V$ (ugao manji od opruženog), a $A$ i $B$ podnožja normala iz $T$ na krake. Trouglovi $VAT$ i $VBT$ imaju zajedničku stranicu $VT$, jednake uglove kod $V$ i prave uglove kod $A$ i $B$, pa su im jednaki i treći uglovi i podudarni su (USU): $TA = TB$. Važi i obrnuto: ako je $TA = TB$, trouglovi su podudarni po SSU ($VT$ je zajednička i najduža stranica, naspram pravog ugla), pa $T$ leži na simetrali ugla.

Upisana kružnica — mesto za česmu

Česma u trouglastom parku treba da bude jednako udaljena od sve tri staze. Jednako udaljena od dve stranice je na simetrali ugla između njih, pa je česma u preseku $S$ dve simetrale uglova; kroz $S$ prolazi i treća simetrala ugla. Kružnica sa centrom $S$ koja dodiruje sve tri stranice je upisana kružnica. Njen poluprečnik je dužina normale iz $S$ na bilo koju stranicu. Centar upisane kružnice je uvek unutar trougla.

Centralna simetrija i jednakostranični trougao

Centralnom simetrijom duž se preslikava u jednaku duž: ako centar simetrije $O$ nije na pravoj $AB$, trouglovi $AOB$ i $A_1OB_1$ imaju $OA = OA_1$, $OB = OB_1$ i jednake unakrsne uglove kod $O$, pa su podudarni (SUS). Kod jednakostraničnog trougla naspramno teme je jednako udaljeno od krajeva stranice, pa je na njenoj simetrali; ta simetrala deli trougao na dva podudarna trougla (SSS) i zato polovi i ugao. Zato se centri opisane i upisane kružnice poklapaju.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).