Stavovi podudarnosti — šta stolar mora da izmeri da napravi istu policu?

Stavovi podudarnosti trouglova SSS, SUS, USU i SSU (ugao naspram veće stranice), uparivanje jednakih elemenata i odgovarajućih temena, zapis dokaza (tri jednakosti sa razlogom, stav, zaključak), preostali odgovarajući elementi su jednaki, šta nije dovoljno (tri ugla, dve stranice, SSU sa uglom naspram manje).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/189

Video

Stolar treba da napravi trouglastu policu potpuno istu kao jedna koja je već zakucana u ćošak. Staru ne može da skine i prisloni uz dasku. Šta je najmanje što mora da izmeri? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Tri merenja su dovoljna: Stolar ne meri svih šest elemenata zakucane police (tri ivice i tri ugla) — dovoljna su mu tri pogodna merenja. To znamo iz konstrukcija: tri pogodno izabrana podatka određuju jedan trougao. Zato, ako su takva tri podatka jednaka u dva trougla, trouglovi su podudarni. Pravila koja kažu koja tri podatka su dovoljna zovemo stavovi podudarnosti.
Stav SSS: Ako su sve tri stranice jednog trougla jednake stranicama drugog trougla, trouglovi su podudarni. Stolaru je dovoljno da izmeri tri ivice zakucane police, npr. $40$ cm i $42$ cm uz zidove i $58$ cm spreda, i da iste dužine prenese na dasku.
Stav SUS: Ako su dve stranice i ugao između njih jednog trougla jednaki dvema stranicama i uglu između njih drugog trougla, trouglovi su podudarni. Ugao mora da bude baš između te dve stranice — u njihovom zajedničkom temenu. Stolar može i ovako: izmeri ivice uz zidove, $40$ cm i $42$ cm, i ugao između njih, koji je ugao ćoška.
Stavovi USU i SSU: USU: jednaka je jedna stranica i dva ugla na njoj (u njenim krajevima). Ako znamo dva ugla, znamo i treći (zbir je $180^\circ$), pa je dovoljna i stranica sa dva bilo koja odgovarajuća ugla. SSU: jednake su dve stranice i ugao naspram VEĆE od njih. Ako je ugao naspram manje stranice, trouglovi ne moraju biti podudarni.
Kako zapisujemo dokaz: Pišemo tri jednakosti, svaku sa razlogom: šta je dato u zadatku, „zajednička stranica“ (ista duž pripada i jednom i drugom trouglu), „unakrsni uglovi“, osobina poznate figure (npr. naspramne stranice pravougaonika su jednake) ili šta smo izračunali. „Vidi se sa slike“ nije razlog. Redosled jednakosti nije važan, važno je koji elementi odgovaraju. Ispod crte napišemo naziv stava i zaključak, npr. $\triangle KLM \cong \triangle PQR$. Tada znamo da su jednaki i preostali odgovarajući elementi.
Šta nije dovoljno: Tri jednaka ugla nisu dovoljna: trouglovi mogu biti različite veličine. Nisu dovoljne ni samo dve stranice, ni dve stranice i ugao naspram manje od njih. Pre zaključka uvek proverimo da li jednaki podaci zaista odgovaraju jednom od četiri stava i da li se temena slažu.

Formule

Stavovi podudarnosti

\text{SSS}, \quad \text{SUS}, \quad \text{USU}, \quad \text{SSU (ugao naspram veće stranice)}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
S	jednaka stranica	cm
U	jednak ugao	°

Tri jednaka pogodna podatka ⇒ trouglovi su podudarni.

Zapis dokaza

1.\ \ldots \quad 2.\ \ldots \quad 3.\ \ldots \quad \overline{(\text{stav})} \;\Rightarrow\; \triangle KLM \cong \triangle PQR

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\Rightarrow$	„sledi“	—

Uz svaku jednakost pišemo razlog.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Stolar je izmerio sve ivice obe police i dobio iste dužine. Koji stav kaže da su police podudarne?

2. Šta kaže stav SUS?

3. Da li su dva trougla sa jednakim sva tri ugla sigurno podudarna?

4. Kod stava SSU, gde mora biti dati ugao?

5. U trouglovima $ABC$ i $KLM$ je $AB = KL$, $\angle A = \angle K$ i $\angle B = \angle L$. Po kom stavu su podudarni?

6. Šta pišemo ispod crte u zapisu dokaza?

7. Trouglovi $ABD$ i $CBD$ imaju zajedničku stranicu $BD$. Kako to zapisujemo u dokazu?

8. Dokazali smo da su dva trougla podudarna po nekom stavu. Šta još znamo?

9. U trouglu $PQR$ je $PQ = 5$ cm, $QR = 7$ cm, $\angle P = 64^\circ$, a u trouglu $XYZ$ je $XY = 5$ cm, $YZ = 7$ cm, $\angle X = 64^\circ$. Šta važi?

10. Koliko jednakosti pišemo iznad crte u dokazu po nekom stavu?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

U trouglu $KLM$ je $KL = 6$ cm, $LM = 4$ cm i $\angle L = 52^\circ$, a u trouglu $PQR$ je $QR = 6$ cm, $PQ = 4$ cm i $\angle Q = 52^\circ$. Da li su podudarni?

$KL = QR = 6$ cm, $LM = QP = 4$ cm, $\angle L = \angle Q = 52^\circ$

Upari jednake podatke.
Ugao $L$ je između $KL$ i $LM$, a ugao $Q$ između $QR$ i $QP$.

Ugao je između jednakih stranica — SUS.
$K \leftrightarrow R$, $L \leftrightarrow Q$, $M \leftrightarrow P$: $\triangle KLM \cong \triangle RQP$

Zajedničko teme jednakih stranica je $L$, odnosno $Q$.

Odgovor: Da, po stavu SUS: $\triangle KLM \cong \triangle RQP$

Zadatak 2

U trouglu $GHJ$ je $GH = 5$ cm, $\angle G = 48^\circ$, $\angle J = 67^\circ$, a u trouglu $STU$ je $ST = 5$ cm, $\angle S = 48^\circ$, $\angle T = 65^\circ$. Da li su podudarni?

$\angle H = 180^\circ - (48^\circ + 67^\circ) = 65^\circ$

Ugao $J$ ne leži na stranici $GH$, pa izračunamo $\angle H$.
$GH = ST$, $\angle G = \angle S$, $\angle H = \angle T$

Stranica i dva ugla na njoj.

Odgovor: Da, po stavu USU: $\triangle GHJ \cong \triangle STU$

Zadatak 3

Zmaj je napravljen od letvica: $AB = AD$ i $CB = CD$, a $AC$ je uzdužna letvica. Dokaži da je $\angle ABC = \angle ADC$.

1. $AB = AD$ (dato); 2. $CB = CD$ (dato); 3. $AC = AC$ (zajednička stranica)

Tri jednakosti, svaka sa razlogom.
(SSS) $\Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle ADC$

Temena: $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow C$.
Zato je $\angle ABC = \angle ADC$, a takođe $\angle BAC = \angle DAC$ i $\angle BCA = \angle DCA$.

Odgovarajući uglovi podudarnih trouglova su jednaki — letvica $AC$ deli uglove kod $A$ i $C$ na pola.

Odgovor: $\angle ABC = \angle ADC$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

U trouglu $ABC$ je $\angle B = 55^\circ$, $\angle C = 48^\circ$, $AB = 5$ cm, $BC = 6{,}6$ cm, $CA = 5{,}5$ cm i $\angle A = 77^\circ$. U trouglu $MNP$ je $MN = 5$ cm, $PM = 6{,}6$ cm i $NP = 5{,}5$ cm. Utvrdi po kom stavu su trouglovi podudarni i koja temena odgovaraju. Koliki je $\angle P$?

Zadatak 2

Zmaj je napravljen od letvica: $AB = AD$, $CB = CD$, a uzdužna letvica je $AC$. Ugao kod temena $C$ je $\angle BCD = 84^\circ$, a $\angle ABC = 86^\circ$. Koliki je $\angle BAD$?

Zadatak 3

U trouglovima $ABC$ i $PQR$ je $AB = PQ = 7$ cm, $BC = QR = 5$ cm i $\angle A = \angle P = 40^\circ$. Da li sigurno možemo zaključiti da su podudarni?

Zadatak 4

U trouglu $ABC$ je $AB = 7$ cm, $\angle A = 56^\circ$, $\angle C = 71^\circ$, a u trouglu $KLM$ je $KL = 7$ cm, $\angle K = 56^\circ$, $\angle L = 53^\circ$. Da li su podudarni?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 27. Primene stavova podudarnosti — gde da se nađu tri drugara?

Još časova — Nikola Stanković

Matematika 6. razred · 30. čas

Stavovi podudarnosti — šta stolar mora da izmeri da napravi istu policu?

🎬 Video

📖 Pojmovi

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test