Podudarnost trouglova — da li se dve polovine tosta poklapaju?
Podudarni trouglovi (jedan tačno prekriva drugi), kada trouglovi nisu podudarni (isti oblik, različita veličina), šest parova odgovarajućih elemenata, oznaka ≅ i redosled slova u zapisu ΔKLM ≅ ΔRST, položaj nije važan (translacija, centralna i osna simetrija), podudarni trouglovi imaju isti obim i istu vrstu.
Video
Pojmovi
- Podudarni trouglovi
- Jovan položi jednu polovinu tosta preko druge: teme pada na teme, stranica na stranicu, i nijedan deo ne viri. Za takve trouglove kažemo da su podudarni — jedan može tačno da prekrije drugi. Podudarni trouglovi imaju isti oblik i istu veličinu.
- Kada trouglovi nisu podudarni
- Trougao koji je samo uvećana slika drugog ima iste uglove, ali duže stranice: isti oblik, druga veličina. Na primer, dva trougla sa uglovima $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$, kod kojih je najduža stranica $4$ cm i $10$ cm, nisu podudarni. Trouglovi nisu podudarni ako se temena ne mogu upariti ni na jedan način tako da svi parovi budu jednaki.
- Šest parova jednakih elemenata
- Kod podudarnih trouglova jednaki su svi odgovarajući elementi: tri para stranica i tri para uglova. Odgovarajuća stranica leži naspram odgovarajućeg ugla. Kada se temena jednom upare, iz toga čitamo svih šest jednakosti.
- Oznaka ≅ i redosled slova
- Podudarnost zapisujemo znakom $\cong$: $\triangle KLM \cong \triangle RST$ čitamo „trougao $KLM$ podudaran je trouglu $RST$“. Prvo teme odgovara prvom, drugo drugom, treće trećem: $K \leftrightarrow R$, $L \leftrightarrow S$, $M \leftrightarrow T$. Zato je $KL = RS$, $LM = ST$, $MK = TR$ i $\angle K = \angle R$, $\angle L = \angle S$, $\angle M = \angle T$.
- Položaj nije važan
- Trougao smemo da pomerimo (translacija), da ga okrenemo za pola kruga oko tačke (centralna simetrija) ili da ga prevrnemo kao list papira (osna simetrija). Ako se posle toga poklopi sa drugim trouglom, trouglovi su podudarni, iako su na crtežu bili različito postavljeni. Polovina tosta u videu okrenuta je za pola kruga.
- Obim i vrsta podudarnih trouglova
- Pošto su im stranice jednake, podudarni trouglovi imaju isti obim. Pošto su im i stranice i uglovi jednaki, iste su vrste i po stranicama i po uglovima: trougao podudaran pravouglom i sam je pravougli, a trougao podudaran jednakokrakom i sam je jednakokraki.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\cong$ | „podudaran je“ | — |
| $\leftrightarrow$ | odgovarajuća temena | — |
Redosled slova određuje koje teme odgovara kom.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $KL, RS$ | odgovarajuće stranice | cm |
| $\angle K, \angle R$ | odgovarajući uglovi | ° |
Šest parova jednakih elemenata.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | obim trougla | cm |
Jednake stranice daju jednak obim.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kada su dva trougla podudarna?
2. Kojim znakom zapisujemo podudarnost trouglova?
3. Koliko parova jednakih elemenata imaju dva podudarna trougla?
4. Ako je $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$, kojoj stranici je jednaka stranica $QR$?
5. Ako je $\triangle KLM \cong \triangle RTS$, kom uglu je jednak $\angle M$?
6. Da li podudarni trouglovi moraju na crtežu biti isto okrenuti?
7. Trougao $GHJ$ je pravougli. Kakav mora biti svaki trougao podudaran njemu?
8. Trougao $B$ je uvećana slika trougla $A$: uglovi su isti, stranice dvostruko duže. Da li su podudarni?
9. Kakvi su obimi dva podudarna trougla?
10. Kvadratni tost presečemo po dijagonali. Kakva su dva dela?
Rešeni zadaci
Dato je $\triangle PQR \cong \triangle ZXY$. Zapiši sve parove jednakih elemenata.
-
$P \leftrightarrow Z$, $Q \leftrightarrow X$, $R \leftrightarrow Y$Slova čitamo po redu: prvo sa prvim, drugo sa drugim, treće sa trećim.
-
$PQ = ZX$, $QR = XY$, $RP = YZ$Stranicu određuju njena dva temena.
-
$\angle P = \angle Z$, $\angle Q = \angle X$, $\angle R = \angle Y$Odgovarajući uglovi su kod odgovarajućih temena.
Dato je $\triangle GHI \cong \triangle UVW$, $\angle G = 28^\circ$ i $\angle V = 104^\circ$. Koliki je $\angle W$ i koje je vrste trougao $UVW$?
-
$\angle H = \angle V = 104^\circ$, a $\angle W = \angle I$$H \leftrightarrow V$ i $I \leftrightarrow W$.
-
$\angle I = 180^\circ - (28^\circ + 104^\circ) = 48^\circ$Zbir uglova trougla je $180^\circ$.
-
Ugao od $104^\circ$ je tup.Oba trougla su iste vrste.
Trougao $ABC$ ima stranice $5$ cm, $6$ cm i $9$ cm, a trougao $KLM$ stranice $6$ cm, $9$ cm i $5{,}5$ cm. Da li su podudarni?
-
Dva para se slažu: $6 = 6$ i $9 = 9$, ali stranici od $5$ cm nema para od $5$ cm.Kod podudarnih trouglova SVAKA stranica ima jednak par.
-
Obimi su $20$ cm i $20{,}5$ cm — različiti.Podudarni trouglovi imaju isti obim.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Trouglovi su podudarni: $\triangle ABC \cong \triangle MLK$. Ako je $\angle B = 21^\circ$ i $\angle M = 112^\circ$, koliki je $\angle L$?
Trouglovi su podudarni: $\triangle ABC \cong \triangle NPM$. Obim trougla $NPM$ je $14{,}6$ cm, $NP = 2{,}4$ cm i $MP = 6{,}5$ cm. Kolika je stranica $CA$?
Trougao $ABC$ je jednakokraki sa osnovicom $AB$ ($AC = BC$) i $\triangle ABC \cong \triangle GJH$. Ako je $\angle C = 58^\circ$, koliki je $\angle J$?
Trougao $KLM$ je jednakokraki sa osnovicom $KL$ i $\triangle KLM \cong \triangle TRS$. Koja stranica je osnovica trougla $TRS$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 26. Stavovi podudarnosti — šta stolar mora da izmeri da napravi istu policu?