Osnovne konstrukcije trougla — koliko podataka je dovoljno da se nacrta jedro?
Trougao je određen sa tri pogodno izabrana elementa: dve stranice i ugao između njih (SUS), stranica i dva ugla na njoj (USU), tri stranice (SSS), dve stranice i ugao naspram veće od njih (SSU); skica, analiza i konstrukcija; kada konstrukcija nije moguća (nejednakost trougla, zbir uglova ≥ 180°); računanje nedostajućeg ugla pre konstrukcije; dva elementa nisu dovoljna.
Video
Pojmovi
- Šest podataka, a dovoljna su tri
- Za trougao znamo tri dužine i tri ugla — šest podataka. Kada Vuk kaže samo dve dužine, $5$ cm i $3$ cm, Ana može da nacrta treću stranicu bilo koje dužine između $2$ i $8$ cm, pa jedra izlaze različita. Ni sami uglovi ne pomažu: isti uglovi mogu da imaju i malo i veliko jedro. Dovoljna su tri podatka, ali pogodno izabrana, i bar jedan od njih mora biti dužina.
- SSS: tri stranice
- Šestarom prenesemo najdužu stranicu, npr. $AB = 7$ cm. Iz $A$ opišemo luk poluprečnika $AC = 5$ cm, a iz $B$ luk poluprečnika $BC = 4$ cm. Lukovi se seku u dve tačke, po jednoj sa svake strane prave $AB$; biramo onu sa strane kao na skici (drugi trougao je isti, samo prevrnut). Trougao postoji samo ako je zbir dve kraće stranice veći od najduže: za $3$, $4$ i $8$ cm lukovi se ne seku. Jednakostranični trougao je SSS sa tri iste dužine.
- SUS: dve stranice i ugao između njih
- Nacrtamo stranicu $AB = 7$ cm, u temenu $A$ konstruišemo ugao od $45^\circ$ i na njegovom drugom kraku šestarom odmerimo $AC = 5$ cm. Spojimo $B$ i $C$ — trougao je samo jedan. Pravougli trougao sa dve date katete je SUS sa uglom od $90^\circ$ između njih.
- SSU: dve stranice i ugao naspram veće
- Neka su date $AB = 3$ cm, $AC = 5$ cm i ugao kod $B$, koji je naspram veće stranice $AC$. Nacrtamo manju stranicu $AB$, u temenu $B$ (koje ne pripada većoj stranici) konstruišemo dati ugao, a iz $A$ opišemo luk poluprečnika $5$ cm. Luk seče krak iz $B$ u tačno jednoj tački — to je $C$. Kada bi ugao bio naspram manje stranice, luk i krak mogli bi da se seku u dve tačke, u jednoj ili ni u jednoj, pa trougao ne bi bio sigurno jedan.
- USU: stranica i dva ugla na njoj
- Nacrtamo stranicu, npr. $BC = 7$ cm, u njenim krajevima konstruišemo uglove od $60^\circ$ i $30^\circ$, a kraci se seku u trećem temenu. Zbir ta dva ugla mora biti manji od $180^\circ$, inače se kraci ne seku. Ako je dat ugao koji ne leži na stranici, prvo izračunamo onaj koji leži: zbir sva tri ugla je $180^\circ$.
- Kako rešavamo svaki zadatak
- Prvo nacrtamo skicu „od oka“ i obojimo date stranice i uglove. Na skici prepoznamo slučaj (SSS, SUS, SSU ili USU) i smislimo redosled — to je analiza. Proverimo da li je konstrukcija moguća. Tek onda konstruišemo: dužine prenosimo šestarom, a uglove konstruišemo kao u prethodnom času ili ih prenosimo.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| S | stranica | cm |
| U | ugao | ° |
Tri pogodno izabrana podatka, bar jedan je dužina.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b, c$ | stranice | cm |
| $\beta, \gamma$ | uglovi na stranici | ° |
Ako uslov ne važi, konstrukcija nije moguća.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko pogodno izabranih podataka je potrebno da bi trougao bio određen?
2. Šta znači SUS?
3. Može li se konstruisati trougao sa stranicama $2$ cm, $3$ cm i $6$ cm?
4. Šta je prvi korak pre konstrukcije?
5. Dati su stranica $BC$ i uglovi $\beta = 100^\circ$, $\gamma = 85^\circ$. Šta važi?
6. Kod SSS konstrukcije, kako dobijamo treće teme?
7. Dati su $AB$, $\alpha$ i $\gamma$ (ugao $\gamma$ ne leži na $AB$). Šta prvo uradimo?
8. Da li dve stranice od $4$ cm i $6$ cm određuju trougao?
9. Kojim priborom prenosimo datu dužinu stranice?
10. Kod SSU, naspram koje stranice mora biti dati ugao da bi trougao sigurno bio jedan?
Rešeni zadaci
Konstruiši trougao $ABC$ ako je $AB = 7$ cm, $\alpha = 45^\circ$ i $AC = 5$ cm.
-
Na skici obe date stranice izlaze iz temena $A$, a $\alpha$ je između njih — to je SUS.Analiza na skici.
-
Nacrtamo $AB = 7$ cm, u $A$ konstruišemo $45^\circ$ (simetrala pravog ugla), na kraku odmerimo $AC = 5$ cm i spojimo $C$ sa $B$.Ugao od $45^\circ$ znamo iz prethodnog časa.
Konstruiši trougao $ABC$ ako je $AB = 7$ cm, $\alpha = 105^\circ$ i $\gamma = 30^\circ$. Koji ugao crtamo u $B$?
-
$\beta = 180^\circ - (105^\circ + 30^\circ) = 45^\circ$Ugao $\gamma$ ne leži na stranici $AB$, pa izračunamo $\beta$.
-
Na $AB$ konstruišemo u $A$ ugao $105^\circ = 90^\circ + 15^\circ$, a u $B$ ugao $45^\circ$; presek krakova je $C$.Sada su oba ugla na stranici — USU.
Jednakokraki trougao ima krak $5$ cm i ugao na osnovici $75^\circ$. Kako ga konstruisati?
-
$180^\circ - 2 \cdot 75^\circ = 30^\circ$Oba ugla na osnovici su po $75^\circ$, pa je ugao pri vrhu $30^\circ$.
-
Konstruišemo ugao od $30^\circ$, na oba kraka od vrha odmerimo $5$ cm i spojimo krajeve.Krak, ugao između krakova, krak — to je SUS.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Za koliko od sledećih trojki dužina se može konstruisati trougao? (1) $1{,}3$, $4$ i $1{,}9$ cm; (2) $1{,}6$, $2{,}3$ i $3{,}3$ cm; (3) $2{,}4$, $5{,}8$ i $4{,}2$ cm; (4) $4{,}2$, $2{,}9$ i $1{,}6$ cm.
Treba konstruisati trougao $ABC$ ako je $BC = 4$ cm, $\beta = 105^\circ$ i $\alpha = 60^\circ$. Ugao $\alpha$ ne leži na stranici $BC$. Koliki ugao treba konstruisati u temenu $C$?
Koliko od sledećih skupova podataka sigurno određuje tačno jedan trougao $ABC$? (1) $\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 95^\circ$, $\angle C = 30^\circ$; (2) $AB = 9$ cm, $BC = 4$ cm, $\angle ABC = 85^\circ$; (3) $AB = 6$ cm, $AC = 3$ cm, $\angle ACB = 25^\circ$; (4) $AB = 5$ cm, $\angle BAC = 85^\circ$, $\angle ACB = 65^\circ$.
Date su stranice $AB = 5$ cm i $BC = 7$ cm. Uz koji treći podatak je trougao $ABC$ sigurno samo jedan?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 25. Podudarnost trouglova — da li se dve polovine tosta poklapaju?