Geometrijske konstrukcije — kako napraviti ugao od 60° bez uglomera?
Konstrukcija šestarom i lenjirom (bez merenja), normala i paralela kroz tačku, visina trougla i njeno podnožje — i kod tupouglog trougla, konstrukcija ugla od 60° (jednakostranični trougao) i 90° (normala), simetrala ugla (30°, 45°, 15°, 22°30′), prenošenje ugla, zbir i razlika uglova.
Video
Pojmovi
- Šta je konstrukcija
- Konstruisati znači nacrtati figuru samo šestarom i lenjirom bez podeoka — bez merenja uglomerom i bez čitanja dužina. Lenjirom crtamo prave kroz dve tačke, a šestarom kružnice i prenosimo jednake duži. Iz 5. razreda znamo simetralu duži, simetralu ugla i normalu na pravu kroz tačku; dve normale daju i paralelu kroz tačku (prava normalna na normalu).
- Stolarov ugao od 60°
- Stolar zna da jednakostranični trougao ima sva tri ugla po $60^\circ$. Zato pravi trougao čije su sve stranice jednake otvoru šestara: iz temena $O$ na polupravoj opiše luk koji seče polupravu u tački $P$, pa istim otvorom iz $P$ luk koji seče prvi luk u $R$. Pošto je $OP = OR = PR$, trougao $OPR$ je jednakostraničan, a ugao kod $O$ je $60^\circ$.
- Simetrala ugla daje polovinu
- Simetrala ugla deli ga na dva jednaka dela. Od $60^\circ$ dobijamo $30^\circ$, pa $15^\circ$; od $90^\circ$ (normala) dobijamo $45^\circ$, pa $22^\circ 30'$. Tako, korak po korak, nastaju uglovi koje inače merimo uglomerom.
- Prenošenje, zbir i razlika uglova
- Ugao prenosimo šestarom: iz temena datog ugla opišemo luk koji seče krake, pa isti luk opišemo iz novog temena i šestarom prenesemo rastojanje između preseka (tetivu). Nadovezivanjem dobijamo zbir: $120^\circ + 45^\circ = 165^\circ$, $60^\circ + 22^\circ 30' = 82^\circ 30'$. Oduzimanjem dobijamo razliku: $180^\circ - 22^\circ 30' = 157^\circ 30'$. Nije svaki ugao moguće konstruisati ovako — npr. $20^\circ$ ne možemo dobiti iz ovih uglova.
- Visina trougla
- Visina trougla je duž od temena do prave na kojoj leži naspramna stranica, normalna na tu pravu; njen kraj je podnožje visine. Svaki trougao ima tri visine: $h_a$, $h_b$ i $h_c$. Konstruišemo je kao normalu iz tačke na pravu: iz temena opišemo luk koji seče pravu naspramne stranice u dve tačke, pa konstruišemo simetralu duži između njih. Dužina visine je rastojanje temena od te prave.
- Visina kod tupouglog i pravouglog trougla
- Kod tupouglog trougla visine iz temena oštrih uglova padaju van trougla: podnožje je na produžetku stranice, pa stranicu prvo produžimo. Visina iz temena tupog ugla je unutar trougla. Kod pravouglog trougla dve visine su same katete, a visina iz temena pravog ugla pada na hipotenuzu.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $60^\circ$ | ugao jednakostraničnog trougla | ° |
| $90^\circ$ | normala | ° |
Simetrala ugla deli ugao na pola.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $h_a$ | visina iz temena $A$ na pravu stranice $a$ | cm |
Kod tupouglog trougla dve visine su van trougla.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kojim priborom se crta konstrukcija?
2. Koji ugao dobijamo iz jednakostraničnog trougla?
3. Šta je simetrala ugla od $90^\circ$?
4. Kako se dobija ugao od $30^\circ$?
5. Šta je visina trougla?
6. Koliko visina ima trougao?
7. Gde je podnožje visine iz temena oštrog ugla kod tupouglog trougla?
8. Koji ugao se dobija kao $120^\circ + 22^\circ 30'$?
9. Šta su visine pravouglog trougla iz temena oštrih uglova?
10. Kako bez uglomera konstruisati ugao od $165^\circ$?
Rešeni zadaci
Kako konstruisati ugao od $105^\circ$?
-
$105^\circ = 90^\circ + 15^\circ$Rastavimo ga na uglove koje znamo da konstruišemo.
-
Normala daje $90^\circ$; $15^\circ$ dobijemo simetralom ugla od $30^\circ$ (a $30^\circ$ simetralom $60^\circ$). Nadovežemo ih.Nadovezani uglovi (drugi sa spoljne strane kraka) se sabiraju.
Kako konstruisati ugao od $52^\circ 30'$?
-
$52^\circ 30' = 30^\circ + 22^\circ 30'$Oba sabirka dobijamo simetralama: $30^\circ$ iz $60^\circ$, a $22^\circ 30'$ iz $45^\circ$.
-
Konstruišemo $30^\circ$, pa uz njegov krak, sa spoljne strane, prenesemo ugao od $22^\circ 30'$.Nadovezani uglovi se sabiraju.
U trouglu $ABC$ ugao kod $B$ je tup. Gde su podnožja visina $h_a$ i $h_c$?
-
$h_a$ ide iz $A$ normalno na pravu $BC$; pošto je ugao kod $B$ tup, podnožje je na produžetku $BC$ preko $B$.Normala iz $A$ pada sa one strane $B$ gde je produžetak.
-
Isto tako $h_c$ pada na produžetak stranice $AB$ preko $B$; samo $h_b$ (iz temena tupog ugla) je unutar trougla.Uz tup ugao produžetak stranice ide van trougla.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Ugao od $150^\circ$ konstruišemo tako što uz ugao od $90^\circ$ nadovežemo još jedan ugao koji takođe znamo da konstruišemo. Koliki je taj drugi ugao?
Ugao od $120^\circ$ prepolovimo simetralom. Koliki je svaki od dva dobijena ugla?
Konstruišemo ugao od $60^\circ$, a unutar njega, uz jedan krak, ugao od $22^\circ 30'$. Koliki je preostali deo ugla?
Trougao ima uglove $25^\circ$, $35^\circ$ i $120^\circ$. Iz kog temena visina pada UNUTAR trougla?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 24. Osnovne konstrukcije trougla — koliko podataka je dovoljno da se nacrta jedro?