Nejednačine sa jednom nepoznatom — kada se okreće znak nejednakosti?
Nejednačina i skup rešenja, prikaz rešenja na brojevnoj pravoj (prazan i pun kružić), dodavanje i oduzimanje istog broja obema stranama, množenje i deljenje pozitivnim brojem (znak ostaje), množenje i deljenje negativnim brojem (znak se okreće), kako izbeći deljenje negativnim brojem, celobrojna rešenja nejednačine, problemi sa „najviše“ i „najmanje“.
Video
Pojmovi
- Nejednačina i njena rešenja
- Nejednakost sa nepoznatom, npr. $x - \frac{1}{2} > -1$, zove se nejednačina. Rešenje je svaki broj koji je čini tačnom; takvih brojeva ovde ima beskonačno mnogo i svi zajedno čine skup rešenja — svi $x > -\frac{1}{2}$. Skup rešenja crtamo na brojevnoj pravoj: kod $>$ i $<$ granica nije rešenje (prazan kružić), kod $\ge$ i $\le$ jeste (pun kružić).
- Dodavanje i oduzimanje
- Kao kod jednačina, obema stranama smemo dodati ili od njih oduzeti isti broj, i znak nejednakosti ostaje isti: tako se cela slika na brojevnoj pravoj samo pomeri. Iz $x + \frac{3}{4} \le \frac{1}{2}$ dobijamo $x \le \frac{1}{2} - \frac{3}{4}$, tj. $x \le -\frac{1}{4}$.
- Množenje i deljenje pozitivnim brojem
- Kada obe strane pomnožimo ili podelimo istim pozitivnim brojem, znak ostaje: iz $\frac{2}{3}x < 4$ množenjem sa $\frac{3}{2}$ dobijamo $x < 6$.
- Negativan broj okreće znak
- Pošto je $-2 < 3$, a $(-2) \cdot (-2) = 4$ i $3 \cdot (-2) = -6$, posle množenja negativnim brojem levi broj je postao veći: $4 > -6$. Množenje sa $-2$ je množenje sa $2$ (redosled ostaje: $-4 < 6$), pa sa $-1$ — a suprotni brojevi su preslikani preko nule, pa onaj koji je bio levo postaje desno. Zato: kada obe strane množimo ili delimo negativnim brojem, znak nejednakosti se menja ($<$ u $>$, $\le$ u $\ge$ i obrnuto). Iz $-3x > \frac{3}{5}$ deljenjem sa $-3$: $x < -\frac{1}{5}$.
- Kako izbeći negativan broj
- Okretanje znaka možemo izbeći tako da nepoznatu prebacimo na stranu gde je ispred nje plus: $\frac{1}{4} - x \ge 2$; dodamo $x$ obema stranama i oduzmemo 2: $\frac{1}{4} - 2 \ge x$, tj. $x \le -\frac{7}{4}$. Dobijamo isto rešenje kao deljenjem sa $-1$ uz promenu znaka.
- Celobrojna rešenja, „najviše/najmanje“ i nula uz x
- Ponekad tražimo samo cela ili prirodna rešenja: iz $x < 2\frac{1}{3}$ prirodna rešenja su $1$ i $2$. Reči „najviše“ i „ne više od“ znače $\le$, a „najmanje“ i „bar“ znače $\ge$. Ako karta košta $\frac{3}{2}$ evra, a imamo 7 evra, za broj karata $n$ važi $\frac{3}{2}n \le 7$, pa je $n \le 4\frac{2}{3}$ — najviše 4 karte. Kad je uz $x$ nula: $0 \cdot x > 9$ nema rešenja, a $0 \cdot x < 2$ važi za svaki broj.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$ | racionalan broj | — |
Sabiranje, oduzimanje i množenje i deljenje pozitivnim brojem ne menjaju znak.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $c$ | negativan broj | — |
Množenje i deljenje negativnim brojem okreće znak nejednakosti.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je skup rešenja nejednačine?
2. Rešenje nejednačine $x + 2 > 5$ je…
3. Šta se dešava sa znakom kada obe strane podelimo sa $-4$?
4. Rešenje nejednačine $-2x < 8$ je…
5. Kako se na brojevnoj pravoj označava granica kod $x \ge 1$?
6. Šta važi ako je $a < b$?
7. Rešenje nejednačine $\frac{x}{3} \le -1$ je…
8. Koji broj NIJE rešenje nejednačine $x > -\frac{1}{2}$?
9. Koja nejednačina nema nijedno rešenje?
10. Koliko prirodnih brojeva zadovoljava $x < 3\frac{1}{2}$?
Rešeni zadaci
Reši nejednačinu $\frac{5}{6} - \frac{1}{2}x \ge -\frac{2}{3}$.
-
$-\frac{1}{2}x \ge -\frac{2}{3} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{2}$Od obe strane oduzmemo $\frac{5}{6}$.
-
$x \le -\frac{3}{2} \cdot (-2) = 3$Množimo sa $-2$ — znak se okreće.
Reši nejednačinu $-2\left(x - \frac{1}{3}\right) \le 1$ i nađi najmanje celo rešenje.
-
$x - \frac{1}{3} \ge -\frac{1}{2}$Delimo sa $-2$ — znak se okreće.
-
$x \ge -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$; najmanji ceo broj veći ili jednak $-\frac{1}{6}$ je $0$Dodamo $\frac{1}{3}$ obema stranama.
Taksi naplaćuje početnu cenu 2 evra i $\frac{4}{5}$ evra po kilometru. Koliko najviše celih kilometara možemo preći sa 10 evra?
-
$2 + \frac{4}{5}k \le 10$, pa $\frac{4}{5}k \le 8$Ukupna cena ne sme biti veća od 10; oduzmemo 2.
-
$k \le 8 \cdot \frac{5}{4} = 10$Množimo pozitivnim brojem $\frac{5}{4}$ — znak ostaje.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Reši nejednačinu $-\frac{4}{3}x - \frac{1}{2} < -\frac{21}{2}$. Koji je najmanji ceo broj koji je rešenje?
Napiši sva cela rešenja nejednačine $-18\frac{1}{2} < x \le -14\frac{1}{2}$ (odvoji ih zarezima).
U internet-knjižari dostava košta $150$ dinara, a jedna sveska $200$ dinara. Koliko najviše komada može da se naruči sa $1\,700$ dinara (uz dostavu)?
Koja nejednačina ima isti skup rešenja kao $-\frac{1}{3}x > 2$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 23. Geometrijske konstrukcije — kako napraviti ugao od 60° bez uglomera?