Jednačine sa jednom nepoznatom — kolika je masa jednog paketa na vagi?
Jednačina, nepoznata i rešenje (provera zamenom), rešavanje jednačina u skupu Q kada je nepoznata sabirak, umanjenik, umanjilac, činilac, deljenik ili delilac, ista operacija na obe strane (kao na vagi u ravnoteži), sabiranje članova sa nepoznatom, jednačine bez rešenja i sa beskonačno mnogo rešenja (0·x = b), jednačine u više koraka i sa zagradom, rešenje zavisi od skupa (N, Z, Q), rešavanje problema jednačinom.
Video
Pojmovi
- Jednačina i rešenje
- Vagu u ravnoteži zapišemo kao jednakost sa nepoznatom: $3x + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{4}$, gde je $x$ masa jednog paketa u kilogramima. Takva jednakost je jednačina, $x$ je nepoznata, a rešenje je broj koji, kada ga zamenimo umesto $x$, daje tačnu jednakost. Rešenje uvek možemo proveriti zamenom.
- Ista promena na obe strane
- Ako sa oba tasa skinemo isto, ili oba podelimo na isti broj jednakih delova, vaga ostaje u ravnoteži. Tako i jednačinu menjamo: obema stranama dodamo ili oduzmemo isti broj, ili ih pomnožimo ili podelimo istim brojem različitim od nule. Za vagu: $3x + \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$; oduzmemo $\frac{1}{2}$: $3x = \frac{7}{4}$; podelimo sa 3: $x = \frac{7}{12}$ kg.
- Primer sa negativnim brojevima
- Isti postupak radi i kada su brojevi negativni: $-\frac{4}{9}x = \frac{2}{3}$. Obe strane podelimo sa $-\frac{4}{9}$: $x = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{4}\right) = -\frac{3}{2}$. Provera: $-\frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{2}{3}$. A $\frac{2}{5} - x = -\frac{1}{3}$: nepoznati umanjilac je umanjenik minus razlika, $x = \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{11}{15}$.
- Pravila po ulozi nepoznate
- Iz $x + a = b$ je $x = b - a$; iz $x - a = b$ je $x = b + a$; iz $a - x = b$ je $x = a - b$. Iz $ax = b$ je $x = b : a$ ($a \ne 0$); iz $x : a = b$ je $x = b \cdot a$ ($a \ne 0$); iz $a : x = b$ je $x = a : b$ ($a \ne 0$, $b \ne 0$). U skupu racionalnih brojeva ovakve jednačine imaju po jedno rešenje, a u skupu prirodnih ili celih brojeva rešenja ponekad nema: $2x = 3$ nema rešenja u $Z$, a u $Q$ je $x = \frac{3}{2}$.
- Zagrade i članovi sa x
- Članove sa $x$ saberemo distributivnošću: $x + \frac{1}{2}x = \left(1 + \frac{1}{2}\right)x = \frac{3}{2}x$. Kod zagrade prvo podelimo (ili oslobodimo zagradu): $2\left(x - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$, pa $x - \frac{1}{3} = \frac{3}{8}$ i $x = \frac{3}{8} + \frac{1}{3} = \frac{17}{24}$.
- Kada je uz x nula
- Jednačina $0 \cdot x = 5$ nema rešenja: bilo koji broj pomnožen nulom daje $0$, a ne $5$. Jednačina $0 \cdot x = 0$ ima beskonačno mnogo rešenja — svaki racionalan broj je rešenje. Obe strane jednačine ne smemo ni množiti ni deliti nulom.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x$ | nepoznata | — |
| $a, b$ | racionalni brojevi | — |
Rešenje proveravamo zamenom.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | racionalni brojevi | — |
$0 \cdot x = b$: za $b \ne 0$ nema rešenja, za $b = 0$ rešenje je svaki broj.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je rešenje jednačine?
2. Rešenje jednačine $x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ je…
3. Rešenje jednačine $x - \frac{2}{3} = -1$ je…
4. Rešenje jednačine $-2x = \frac{4}{5}$ je…
5. Koliko rešenja ima jednačina $0 \cdot x = 3$?
6. Koliko rešenja ima jednačina $0 \cdot x = 0$?
7. Šta smemo da uradimo sa obe strane jednačine?
8. Rešenje jednačine $x : \left(-\frac{1}{2}\right) = 6$ je…
9. Da li je $x = -\frac{1}{2}$ rešenje jednačine $4x + 3 = 1$?
10. Koji je prvi korak u rešavanju $3x + \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$?
Rešeni zadaci
Reši jednačinu $\frac{5}{6} - x = 1\frac{1}{4}$.
-
$x = \frac{5}{6} - \frac{5}{4}$Nepoznati umanjilac: umanjenik minus razlika.
-
$x = \frac{10}{12} - \frac{15}{12} = -\frac{5}{12}$Zajednički imenilac 12. Provera: $\frac{5}{6} + \frac{5}{12} = \frac{15}{12} = 1\frac{1}{4}$.
Reši jednačinu $-\frac{3}{8}x + 2 = \frac{1}{2}$.
-
$-\frac{3}{8}x = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$Od obe strane oduzmemo 2.
-
$x = -\frac{3}{2} : \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) = 4$Obe strane podelimo sa $-\frac{3}{8}$.
Mila je potrošila trećinu džeparca, pa još 150 dinara, i ostalo joj je 300 dinara. Koliki je džeparac?
-
$x - \frac{1}{3}x - 150 = 300$, tj. $\frac{2}{3}x - 150 = 300$Džeparac je $x$; $x - \frac{1}{3}x = \left(1 - \frac{1}{3}\right)x = \frac{2}{3}x$.
-
$\frac{2}{3}x = 450$, pa $x = 450 \cdot \frac{3}{2} = 675$Obema stranama dodamo 150, pa podelimo sa $\frac{2}{3}$. Provera: $675 - 225 - 150 = 300$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Na levom tasu vage su 6 jednakih kesa i teg od $\frac{1}{4}$ kg, a na desnom tegovi od ukupno $7\frac{9}{20}$ kg. Vaga je u ravnoteži. Kolika je masa jedne kese (u kg)? Napiši razlomak ili mešoviti broj.
Reši jednačinu $\frac{4}{5}x + \frac{9}{2} = \frac{5}{2}$. (Odgovor napiši kao razlomak, npr. −5/4, ili ceo broj.)
Reši jednačinu $1\frac{4}{5} - x = \frac{18}{5}$. (Odgovor napiši kao razlomak ili ceo broj.)
Jednačina $4 : x = 3$ ima rešenje…
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 22. Nejednačine sa jednom nepoznatom — kada se okreće znak nejednakosti?