Sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva — gde je planinar u odnosu na kamp?
Sabiranje i oduzimanje racionalnih brojeva: svođenje na zajednički imenilac (pozitivan imenilac), pravila znaka kao kod celih brojeva, oduzimanje kao dodavanje suprotnog broja, mešoviti i decimalni brojevi u istom izrazu, komutativnost, asocijativnost, nula kao neutralni element, oslobađanje od zagrada.
Video
Pojmovi
- Promene visine se sabiraju
- Penjanje zapisujemo kao pozitivnu, a spuštanje kao negativnu promenu visine. Ukupna promena je zbir: $\frac{3}{4} + (-1{,}2) + \frac{2}{5}$. Da bismo je izračunali, sve brojeve zapišemo na isti način — kao razlomke sa zajedničkim imeniocem ili kao decimalne brojeve.
- Zajednički imenilac
- Racionalne brojeve sabiramo i oduzimamo kao razlomke: svedemo ih na isti (pozitivan) imenilac, pa saberemo ili oduzmemo brojioce, a za brojioce važe pravila za cele brojeve. $\frac{3}{4} + \left(-\frac{6}{5}\right) + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{-24}{20} + \frac{8}{20} = \frac{15 - 24 + 8}{20} = -\frac{1}{20}$ km. Planinar je $\frac{1}{20}$ km, tj. $50$ m, ispod kampa.
- Oduzimanje je dodavanje suprotnog
- Kao kod celih brojeva: $p - q = p + (-q)$ i $p - (-q) = p + q$. Tako je $-\frac{2}{7} - \left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{3}{7}$. Ako je ispred zagrade minus, svi znaci u njoj se menjaju: $-\left(\frac{1}{2} - \frac{3}{8}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$; ako je plus, znaci ostaju.
- Pametno grupisanje
- Za racionalne brojeve važi $p + q = q + p$ (komutativnost) i $(p + q) + r = p + (q + r)$ (asocijativnost), kao i $p + 0 = 0 + p = p$. Zato sabirke smemo pregrupisati tako da se lako računaju: $\frac{5}{9} - 0{,}7 + \frac{4}{9} - 0{,}3 = \left(\frac{5}{9} + \frac{4}{9}\right) - (0{,}7 + 0{,}3) = 1 - 1 = 0$.
- Mešoviti i decimalni brojevi
- Mešoviti broj sa minusom pretvorimo u razlomak: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$ (minus važi za ceo broj). Ako se razlomci lako pretvaraju u decimalne, ponekad je brže računati decimalno: $-\frac{1}{4} + 1{,}6 = -0{,}25 + 1{,}6 = 1{,}35$. Ali $\frac{1}{3}$ nema konačan decimalni zapis — tada ostanemo kod razlomaka.
- Minus u imeniocu
- Ako je minus u imeniocu, prvo ga prebacimo ispred razlomka: $\frac{5}{-6} = -\frac{5}{6}$. Tako svi imenioci budu pozitivni, pa lakše nađemo zajednički: $\frac{1}{3} + \frac{5}{-6} = \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, c$ | celi brojevi | — |
| $n$ | prirodan broj (zajednički imenilac) | — |
Prvo sve razlomke svedemo na isti pozitivan imenilac.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $p, q$ | racionalni brojevi | — |
Važe komutativnost, asocijativnost i pravila za zagrade.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko je $-\frac{3}{8} + \frac{7}{8}$?
2. Koliko je $-\frac{2}{9} - \frac{4}{9}$?
3. Koliko je $\frac{1}{2} - \frac{5}{6}$?
4. Šta je prvi korak kada sabiramo $\frac{2}{3}$ i $-\frac{1}{4}$?
5. Koliko je $-1{,}5 + 0{,}75$?
6. Čemu je jednako $\frac{3}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right)$?
7. Šta tvrdi komutativnost sabiranja?
8. Planinar se popne $\frac{1}{2}$ km, a zatim spusti $\frac{3}{4}$ km. Gde je u odnosu na početak?
9. Koliko je $-\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right)$?
10. Koliko je $-2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{4}$?
Rešeni zadaci
Izračunaj $\frac{3}{4} + \frac{7}{-10}$.
-
$\frac{7}{-10} = -\frac{7}{10}$, pa je izraz $\frac{3}{4} - \frac{7}{10}$Minus iz imenioca prebacimo ispred razlomka.
-
$\frac{15}{20} - \frac{14}{20} = \frac{1}{20}$Zajednički imenilac je NZS$(4, 10) = 20$.
Izračunaj $-1\frac{2}{5} - \frac{3}{10}$.
-
$-1\frac{2}{5} = -\frac{7}{5} = -\frac{14}{10}$Mešoviti broj u razlomak, pa na imenilac 10.
-
$-\frac{14}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{17}{10} = -1\frac{7}{10}$Isti znak: saberemo i zadržimo minus.
Izračunaj pametno: $\frac{2}{3} - 1{,}8 + \frac{1}{3} - 0{,}2$.
-
$\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) - (1{,}8 + 0{,}2)$Grupišemo brojeve koji se lako sabiraju.
-
$= 1 - 2 = -1$Trećine daju 1, a decimalni brojevi 2.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Nivo vode u rezervoaru meri se od oznake 0 (iznad je pozitivno, ispod negativno). Na početku je voda tačno na oznaci. Ujutru nivo poraste za $\frac{1}{2}$ m, u podne opadne za $\frac{2}{5}$ m, a uveče opadne za $\frac{5}{4}$ m. Koliki je nivo na kraju (u m)? Odgovor napiši kao razlomak.
Izračunaj $\frac{1}{3} + \frac{2}{-5}$.
Izračunaj $-4\frac{5}{8} - 1\frac{1}{4}$.
Koliko je $\frac{3}{10} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right)$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 18. Množenje racionalnih brojeva — gde je bila podmornica pre dva i po minuta?