Nejednakost trougla — da li je kraće ići pravo ili preko pekare?
Nejednakost trougla: zbir dve stranice veći je od treće (a + b > c, b + c > a, c + a > b), razlika dve stranice manja je od treće, granice za treću stranicu |a − b| < c < a + b, provera da li trougao postoji (dovoljno je uporediti najdužu stranicu sa zbirom druge dve), slučaj jednakosti daje duž, svaka stranica je manja od polovine obima.
Video
Pojmovi
- Pekara na putu
- Ako je pekara baš na putu, između škole i bazena, put preko pekare je isto dug kao put pravo: $a + b = c$ (npr. $250 + 400 = 650$ m). Tada su škola, pekara i bazen na istoj pravoj — trougao ne nastaje, imamo samo duž.
- Pekara van puta — pravo je kraće
- Od svih linija koje spajaju dve tačke najkraća je duž. Ako pekara nije na pravoj kroz školu i bazen, tri mesta su temena trougla, a put preko pekare je duži od puta pravo: $a + b > c$. Isto važi za svaku stranicu: u trouglu je zbir dve stranice veći od treće: $a + b > c$, $b + c > a$, $c + a > b$ (nejednakost trougla).
- Kada trougao postoji
- Tri duži su stranice nekog trougla tačno onda kada je svaka od njih manja od zbira druge dve. Dovoljno je proveriti najdužu: ako je ona manja od zbira dve kraće, ostale dve nejednakosti važe same po sebi. Za $6$, $10$ i $14$ cm: $6 + 10 = 16 > 14$ — postoji. Za $4$, $9$ i $14$ cm: $4 + 9 = 13 < 14$ — ne postoji.
- Koje dužine može imati treća stranica
- Iz $c + b > a$ sledi $a - b < c$: razlika dve stranice manja je od treće (od veće oduzimamo manju). Zato treća stranica mora biti veća od razlike, a manja od zbira druge dve: $|a - b| < c < a + b$. Ako su dve stranice $11$ cm i $4$ cm, treća je veća od $7$ cm, a manja od $15$ cm.
- Najduža stranica i obim
- Iz $c < a + b$ dodavanjem $c$ na obe strane dobijamo $2c < a + b + c = O$, tj. $c < O : 2$: svaka stranica trougla manja je od polovine obima. Ako je obim $26$ cm, nijedna stranica nije duga $13$ cm ili više.
- Jednakokraki trougao i nejednakost
- Kod jednakokrakog trougla sa krakom $k$ i osnovicom $o$ nejednakost glasi $k + k > o$: osnovica je kraća od dva kraka zajedno, tj. krak je duži od polovine osnovice. Za krak $6$ cm osnovica mora biti kraća od $12$ cm.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b, c$ | stranice trougla | cm, m |
Dovoljno je proveriti najdužu stranicu.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | obim trougla | cm, m |
Ako je $a + b = c$, dobija se duž, a ne trougao.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta važi za svake dve stranice trougla?
2. Da li postoji trougao sa stranicama $3$ cm, $4$ cm i $8$ cm?
3. Dve stranice trougla su $6$ cm i $10$ cm. Koja dužina može biti treća?
4. Koju stranicu je dovoljno uporediti sa zbirom druge dve?
5. Šta dobijamo ako je zbir dve duži jednak trećoj?
6. Obim trougla je $30$ cm. Može li neka stranica biti $15$ cm?
7. Dve stranice trougla su $9$ cm i $4$ cm. Treća stranica mora biti…
8. Zašto je put pravo kraći od puta preko treće tačke van te prave?
9. Da li postoji trougao sa stranicama $5$ cm, $5$ cm i $9$ cm?
10. Krak jednakokrakog trougla je $4$ cm. Može li osnovica biti $8$ cm?
Rešeni zadaci
Od kuće do škole ima $700$ m, a od škole do bazena $450$ m (vazdušnom linijom), i ta tri mesta nisu na istoj pravoj. Koliko može biti rastojanje od kuće do bazena?
-
$700 - 450 = 250$ i $700 + 450 = 1\,150$Razlika i zbir poznatih rastojanja.
-
$250\ \mathrm{m} < x < 1\,150\ \mathrm{m}$Tri mesta su temena trougla: treća stranica je između razlike i zbira.
Koja od ovih trojki može biti stranice trougla: $3$, $8$, $12$ cm ili $5$, $8$, $12$ cm?
-
$3 + 8 = 11 < 12$Kod prve trojke zbir dve kraće nije veći od najduže.
-
$5 + 8 = 13 > 12$Kod druge jeste.
Obim trougla je $22$ cm, a stranice su prirodni brojevi centimetara. Koliko NAJMANJE može biti najduža stranica?
-
Kad bi najduža bila $7$ cm, sve tri bi bile najviše $7$: zbir najviše $21 < 22$.Najduža stranica je bar trećina obima.
-
Za $8$ cm postoji: $8 + 7 + 7 = 22$ i $7 + 7 > 8$.Proverimo nejednakost trougla.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Mesta nisu na istoj pravoj. Od stanice do pijace ima $287$ m, a od pijace do pošte $118$ m (vazdušnom linijom). Koliko metara najmanje može biti rastojanje od stanice do pošte, ako je ono prirodan broj metara?
Ram trouglaste slike ukupno je dugačak $38$ cm, a dužine stranica su prirodni brojevi (cm). Kolika najviše može biti najduža stranica?
Nalepnica ima oblik jednakokrakog trougla sa krakom $12$ cm. Osnovica je prirodan broj centimetara. Kolika je najveća moguća osnovica?
Koja trojka dužina može biti stranice trougla?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 14. Skup racionalnih brojeva i brojevna prava — koliko je vodostaj ispod normale?