Odnos stranica i uglova u trouglu — zašto su uglovi šatora uz zemlju jednaki?
Naspram jednakih stranica su jednaki uglovi i obrnuto, naspram veće stranice je veći ugao i obrnuto, hipotenuza je najduža stranica pravouglog trougla, jednakokraki trougao (kraci, osnovica, vrh, ugao pri vrhu, jednaki uglovi na osnovici), jednakostranični trougao (uglovi od 60°), podela trouglova prema stranicama, pravougli trougao sa uglovima 30° i 60° (kateta naspram 30° je pola hipotenuze).
Video
Pojmovi
- Jednakokraki trougao
- Prednja strana šatora je trougao sa dve jednake stranice — jednakokraki trougao. Jednake stranice su kraci, treća stranica je osnovica, teme naspram osnovice je vrh, a ugao kod vrha je ugao pri vrhu. Uglovi uz osnovicu su uglovi na osnovici.
- Uglovi na osnovici su jednaki
- Vrh je jednako udaljen od krajeva osnovice, pa leži na simetrali osnovice (5. razred). Kada trougao presavijemo po toj simetrali, jedan krak padne tačno na drugi, pa se poklope i uglovi na osnovici: oni su jednaki. Uopšte: naspram jednakih stranica trougla nalaze se jednaki uglovi. Važi i obrnuto: ako su dva ugla trougla jednaka, jednake su i stranice naspram njih.
- Jednakostranični trougao i podela prema stranicama
- Trougao sa sve tri jednake stranice je jednakostranični; sva tri ugla su mu jednaka, po $180^\circ : 3 = 60^\circ$, a spoljašnji uglovi po $120^\circ$. Prema stranicama trouglovi su jednakostranični (tri jednake stranice), jednakokraki (dve jednake) i raznostranični, tj. nejednakostranični (sve tri različite).
- Naspram veće stranice je veći ugao
- Neka je u trouglu $ABC$ stranica $CA$ duža od $CB$. Na duži $CA$ odmerimo tačku $D$ tako da je $CD = CB$. Trougao $DBC$ je jednakokraki, pa su mu uglovi kod $D$ i kod $B$ jednaki. Ugao kod $D$ je spoljašnji ugao trougla $ABD$, pa je veći od nesusednog ugla $\alpha$ (6.11). Ceo ugao $\beta$ je još veći od dela kod $B$. Zato je $\beta > \alpha$: naspram veće stranice je veći ugao. Važi i obrnuto: naspram većeg ugla je veća stranica. Na primer, za $\alpha = 35^\circ$, $\beta = 80^\circ$, $\gamma = 65^\circ$ je $b > c > a$.
- Hipotenuza je najduža
- U pravouglom trouglu prav ugao je najveći (druga dva su oštra), pa je stranica naspram njega — hipotenuza — najduža stranica. U tupouglom trouglu najduža je stranica naspram tupog ugla.
- Pravougli trougao sa uglovima 30° i 60°
- Dva takva trougla složena uz dužu katetu daju jednakostranični trougao. Zato je u pravouglom trouglu sa uglovima $30^\circ$ i $60^\circ$ kateta naspram ugla od $30^\circ$ jednaka polovini hipotenuze: ako je hipotenuza $16$ cm, ta kateta je $8$ cm.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | stranice naspram uglova $\alpha$, $\beta$ | — |
Naspram veće stranice je veći ugao.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\gamma$ | ugao pri vrhu | ° |
| $\alpha, \beta$ | uglovi na osnovici | ° |
Jednakostranični trougao: sva tri ugla po $60^\circ$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta se nalazi naspram jednakih stranica trougla?
2. U trouglu je $a > b$. Šta važi za uglove?
3. Koja stranica pravouglog trougla je najduža?
4. Koliki je svaki ugao jednakostraničnog trougla?
5. Kako se zovu jednake stranice jednakokrakog trougla?
6. Ugao pri vrhu jednakokrakog trougla je $40^\circ$. Koliki je ugao na osnovici?
7. Trougao ima stranice $5$ cm, $5$ cm i $8$ cm. Kakav je prema stranicama?
8. U trouglu su uglovi $50^\circ$, $60^\circ$ i $70^\circ$. Naspram kog ugla je najkraća stranica?
9. Jednakokraki trougao ima jedan tup ugao. Gde je on?
10. Hipotenuza pravouglog trougla sa uglom od $30^\circ$ je $12$ cm. Kolika je kateta naspram tog ugla?
Rešeni zadaci
Stranice trougla su $7$ cm, $12$ cm i $9$ cm. Koji ugao je najveći, a koji najmanji?
-
Najduža stranica je $12$ cm, najkraća $7$ cm.Uporedimo stranice.
-
Najveći ugao je naspram stranice od $12$ cm, najmanji naspram stranice od $7$ cm.Naspram veće stranice je veći ugao.
Ugao na osnovici jednakokrakog trougla je $38^\circ$. Koliki je ugao pri vrhu i kakav je trougao prema uglovima?
-
$180^\circ - 2 \cdot 38^\circ = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$Oba ugla na osnovici su po $38^\circ$.
-
$104^\circ$ je tup ugao.Vrstu određuje najveći ugao.
Tobogan je dugačak $5{,}6$ m i sa zemljom zaklapa ugao od $30^\circ$. Na kojoj je visini njegov vrh?
-
Tobogan, zemlja i uspravni stub čine pravougli trougao; tobogan je hipotenuza.Visina je kateta naspram ugla od $30^\circ$.
-
$5{,}6 : 2 = 2{,}8$ mTa kateta je polovina hipotenuze.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
U trouglu $ABC$ je $\alpha = 27^\circ$ i $\beta = 38^\circ$. Dužine stranica su $18$ cm, $12$ cm i $9$ cm (nije rečeno koja je koja). Kolika je dužina stranice $a$?
Spoljašnji ugao kod jednog temena osnovice jednakokrakog trougla je $97^\circ 20'$. Koliki je ugao pri vrhu?
Kosa daska za istovar sa ravnim tlom zaklapa ugao od $30^\circ$, a njen gornji kraj je na visini $1{,}3$ m. Koliko je dugačka?
U trouglu $KLM$ uglovi kod temena $K$ i $L$ su jednaki, a $KM = 9$ cm. Koja stranica sigurno ima $9$ cm?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 13. Nejednakost trougla — da li je kraće ići pravo ili preko pekare?