Spoljašnji uglovi trougla — za koliko se okrene biciklista oko parka?
Spoljašnji ugao trougla kao ugao uporedan unutrašnjem (α₁ = 180° − α), dva spoljašnja ugla kod svakog temena, zbir spoljašnjih uglova je 360°, spoljašnji ugao jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla i veći je od svakog od njih, računanje uglova trougla pomoću spoljašnjih.
Video
Pojmovi
- Luka se okrene za ceo krug
- Kada Luka stigne u teme, umesto da nastavi pravo — produžetkom stranice kojom je došao — skrene ka sledećoj stranici. Taj ugao skretanja, između produžetka stranice i susedne stranice, je spoljašnji ugao trougla kod tog temena (kod $A$ se obeležava $\alpha_1$, kod $B$ $\beta_1$, kod $C$ $\gamma_1$). Posle tri skretanja ulevo Luka je okrenut kao na početku: okrenuo se za ceo krug. Zato je $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ$.
- Spoljašnji i susedni unutrašnji ugao
- Spoljašnji ugao i unutrašnji ugao kod istog temena zajedno čine opružen ugao — uporedni su: $\alpha_1 = 180^\circ - \alpha$, $\beta_1 = 180^\circ - \beta$, $\gamma_1 = 180^\circ - \gamma$.
- Spoljašnji ugao i dva nesusedna unutrašnja
- Uz $\alpha_1$ leži $\alpha$, a $\beta$ i $\gamma$ su mu nesusedni. Pošto je $\alpha + \alpha_1 = 180^\circ$ i $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, sledi $\alpha_1 = \beta + \gamma$: spoljašnji ugao jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla. Na primer, za $\beta = 52^\circ$ i $\gamma = 69^\circ$ je $\alpha_1 = 121^\circ$. Odatle i račun za ceo krug: $\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = (\beta + \gamma) + (\alpha + \gamma) + (\alpha + \beta) = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.
- Spoljašnji ugao je veći od nesusednih
- Pošto je $\alpha_1 = \beta + \gamma$, a oba sabirka su veća od nule, spoljašnji ugao je veći i od $\beta$ i od $\gamma$. Od susednog unutrašnjeg ugla ne mora biti veći: uz tup ugao spoljašnji ugao je oštar.
- Šta treba znati da bismo našli svih šest uglova
- Dovoljna su dva podatka o uglovima: dva unutrašnja ugla, ili dva spoljašnja ugla, ili jedan unutrašnji i njemu nesusedni spoljašnji ugao. Ostale uglove dobijamo iz zbira $180^\circ$, uporednih uglova i pravila $\alpha_1 = \beta + \gamma$.
- Dva spoljašnja ugla kod istog temena
- Kod temena $A$ možemo produžiti bilo koju od dve stranice preko $A$. Dobijamo dva spoljašnja ugla, ali su oni unakrsni, pa su jednaki — zato govorimo o jednom spoljašnjem uglu kod temena. Spoljašnji ugao je oštar samo uz tup unutrašnji, a prav samo uz prav, pa najviše jedan spoljašnji ugao trougla može biti oštar ili prav.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\alpha_1$ | spoljašnji ugao kod $A$ | ° |
| $\alpha, \beta, \gamma$ | unutrašnji uglovi | ° |
Spoljašnji ugao je uporedan susednom unutrašnjem.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ | spoljašnji uglovi kod $A$, $B$, $C$ | ° |
Važi za svaki trougao.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliki je zbir spoljašnjih uglova trougla (po jedan kod svakog temena)?
2. Unutrašnji ugao je $70^\circ$. Koliki je spoljašnji ugao kod tog temena?
3. Čemu je jednak spoljašnji ugao trougla?
4. Šta uvek važi za spoljašnji ugao i susedni unutrašnji ugao?
5. Unutrašnji uglovi kod $B$ i $C$ su $40^\circ$ i $65^\circ$. Koliki je spoljašnji ugao kod $A$?
6. Spoljašnji ugao uz tup unutrašnji ugao je…
7. Koliko spoljašnjih uglova kod jednog temena dobijamo produžavanjem obe stranice?
8. Koliko podataka o uglovima je dovoljno da se odrede svi uglovi trougla?
9. Spoljašnji ugao kod temena $C$ je $90^\circ$. Kakav je trougao?
10. Spoljašnji ugao kod temena $A$ je oštar. Šta važi za ugao $\alpha$?
Rešeni zadaci
Unutrašnji ugao trougla je $64^\circ$. Koliki je spoljašnji ugao kod tog temena?
-
$\alpha_1 = 180^\circ - 64^\circ$Spoljašnji i susedni unutrašnji ugao su uporedni.
-
$\alpha_1 = 116^\circ$Provera: $64^\circ + 116^\circ = 180^\circ$.
U trouglu je $\beta = 47^\circ$ i $\gamma = 71^\circ$. Odredi spoljašnji ugao kod temena $A$ i ugao $\alpha$.
-
$\alpha_1 = \beta + \gamma = 47^\circ + 71^\circ = 118^\circ$Spoljašnji ugao jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja.
-
$\alpha = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$Provera: $62^\circ + 47^\circ + 71^\circ = 180^\circ$.
Na uglu $A$ staze Luka skrene za $128^\circ$, a ugao parka kod temena $B$ je $63^\circ$. Koliki je ugao parka kod $C$ i za koliko Luka skrene kod $C$?
-
$\gamma = \alpha_1 - \beta = 128^\circ - 63^\circ = 65^\circ$Spoljašnji ugao kod $A$ jednak je zbiru $\beta + \gamma$.
-
$\gamma_1 = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$Skretanje kod $C$ je spoljašnji ugao, uporedan sa $\gamma$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Trkačica obilazi stazu u obliku trougla jednom i na svakom uglu skreće ulevo. Na prvom uglu skrene za $101^\circ 30'$. Unutrašnji ugao staze na drugom uglu je $62^\circ$. Za koliki ugao skreće na trećem uglu?
U trouglu je spoljašnji ugao kod temena $C$ jednak $128^\circ 15'$, a $\alpha = 91^\circ$. Koliki je ugao $\beta$?
U trouglu $ABC$ je unutrašnji ugao $\alpha = 55^\circ 50'$, a spoljašnji ugao kod temena $B$ je $\beta_1 = 109^\circ 25'$. Koliki je spoljašnji ugao kod temena $C$?
Može li spoljašnji ugao trougla biti manji od nekog od dva nesusedna unutrašnja ugla?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 12. Odnos stranica i uglova u trouglu — zašto su uglovi šatora uz zemlju jednaki?