Unutrašnji uglovi trougla — šta dobijemo kad složimo sva tri ugla?
Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180° (provera cepanjem papira i dokaz pomoću prave paralelne stranici i naizmeničnih uglova), računanje trećeg ugla, svaki trougao ima bar dva oštra ugla, vrste trouglova prema uglovima: oštrougli, pravougli (katete i hipotenuza, zbir oštrih uglova 90°) i tupougli, vrstu određuje najveći ugao.
Video
Pojmovi
- Tri ugla čine opružen ugao
- Kada trouglu od papira otcepimo sva tri ugla i složimo ih jedan do drugog (temena u jednu tačku), dobijemo opružen ugao — polovinu punog ugla, $180^\circ$. Mila je probala sa šiljatim, sa „kosim“ i sa vrlo tupim trouglom — uvek isto: zbir unutrašnjih uglova trougla je $180^\circ$, tj. $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
- Treći ugao
- Ako znamo dva ugla, treći dobijamo oduzimanjem: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Na primer, za $\alpha = 58^\circ$ i $\beta = 49^\circ$ je $\gamma = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$. Kada su uglovi dati u stepenima i minutima, $180^\circ$ pišemo kao $179^\circ 60'$.
- Zašto uvek važi
- Kroz teme $C$ povucimo pravu $p$ paralelnu stranici $AB$. Stranica $CA$ seče obe paralelne prave, pa je ugao između $p$ i $CA$ sa one strane gde je teme $A$ (ispod prave $p$, levo od $C$) jednak uglu $\alpha$ — to su naizmenični uglovi. Isto tako je ugao između $p$ i $CB$ na strani temena $B$ (ispod prave $p$, desno od $C$) jednak uglu $\beta$. Ta dva ugla i $\gamma$ zajedno popunjavaju opružen ugao na pravoj $p$, pa je $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ za svaki trougao.
- Pravougli trougao
- Ako je jedan ugao trougla prav, trougao je pravougli. Stranice koje grade prav ugao zovu se katete, a stranica naspram pravog ugla hipotenuza. Pošto prav ugao „troši“ $90^\circ$, dva oštra ugla zajedno daju $90^\circ$: ako je jedan $27^\circ$, drugi je $63^\circ$.
- Oštrougli i tupougli trougao
- Trougao je oštrougli ako su mu sva tri ugla oštra (manja od $90^\circ$), a tupougli ako mu je jedan ugao tup (veći od $90^\circ$, a manji od $180^\circ$). Da bismo odredili vrstu trougla, dovoljno je pogledati njegov najveći ugao: oštar — oštrougli, prav — pravougli, tup — tupougli.
- Bar dva oštra ugla
- Trougao ne može imati dva prava ugla, ni dva tupa, ni jedan prav i jedan tup: zbir ta dva ugla bi već bio $180^\circ$ ili više, pa za treći ugao ne bi ostalo ništa. Zato svaki trougao ima bar dva oštra ugla.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\alpha, \beta, \gamma$ | unutrašnji uglovi trougla | ° |
Važi za svaki trougao.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\gamma$ | nepoznati ugao | ° |
U pravouglom trouglu (prav ugao $\gamma$): $\alpha + \beta = 90^\circ$.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliki je zbir unutrašnjih uglova svakog trougla?
2. Dva ugla trougla su $50^\circ$ i $60^\circ$. Koliki je treći?
3. Koliko pravih uglova može imati trougao?
4. Trougao sa uglovima $20^\circ$, $35^\circ$ i $125^\circ$ je…
5. Šta je hipotenuza?
6. U pravouglom trouglu jedan oštar ugao je $25^\circ$. Koliki je drugi?
7. Koliko oštrih uglova ima svaki trougao?
8. Uglovi trougla su $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$. Kakav je trougao?
9. Da bismo odredili vrstu trougla prema uglovima, dovoljno je pogledati…
10. Trougao ima ugao od $91^\circ$. Može li mu drugi ugao biti $90^\circ$?
Rešeni zadaci
Mila iseče trougao kome su dva ugla $28^\circ$ i $37^\circ$. Koliki je treći ugao i kakav je trougao?
-
$180^\circ - (28^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$Zbir sva tri ugla je $180^\circ$.
-
Najveći ugao je $115^\circ$ — tup.Vrstu određuje najveći ugao.
Oštri uglovi pravouglog trougla su međusobno jednaki. Koliki su?
-
$\alpha + \beta = 90^\circ$Prav ugao „troši“ $90^\circ$ od $180^\circ$.
-
$\alpha = \beta = 90^\circ : 2 = 45^\circ$Dva jednaka ugla — podelimo na pola.
Da li postoji trougao sa uglovima $95^\circ$ i $88^\circ$?
-
$95^\circ + 88^\circ = 183^\circ$Saberemo data dva ugla.
-
$183^\circ > 180^\circ$Za treći ugao ne ostaje ništa — zbir je već veći od $180^\circ$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
U trouglu je $\alpha = 82^\circ$ i $\gamma = 18^\circ 10'$. Koliki je ugao $\beta$?
Daska je naslonjena na uspravan zid. Sa podom zaklapa ugao od $73^\circ 50'$. Koliki ugao zaklapa sa zidom?
Zastavica ima oblik trougla. Ugao na vrhu je $32^\circ$, a druga dva ugla su međusobno jednaka. Koliki je svaki od ta dva ugla?
Prednja strana krova kućice je trougao. Ugao na vrhu krova je za $2^\circ$ veći od pravog ugla. Kakav je taj trougao?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 11. Spoljašnji uglovi trougla — za koliko se okrene biciklista oko parka?