Množenje celih brojeva — zašto je minus puta minus plus?
Množenje celih brojeva kao ponovljeno sabiranje, množenje brojem −1 daje suprotan broj, pravilo znaka proizvoda (isti znak — pozitivan, različit — negativan), apsolutna vrednost proizvoda, znak proizvoda više činilaca (paran ili neparan broj negativnih), množenje nulom i jedinicom, komutativnost, asocijativnost i distributivnost.
Video
Pojmovi
- Množenje kao ponovljeno sabiranje
- Nivo vode pada 3 cm na sat, tj. promena za sat je $-3$ cm. Za 4 sata: $4 \cdot (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12$ cm. Pozitivan broj puta negativan daje negativan broj. Zbog komutativnosti je i $(-3) \cdot 4 = -12$. U zapisu $a \cdot b = c$ brojevi $a$ i $b$ su činioci, a $c$ je proizvod.
- Negativan puta negativan
- Pre 2 sata (vreme $-2$) nivo je bio 6 cm viši, jer je voda od tada samo opadala. Ako i za prošlost važi „promena = vreme · promena za sat“, onda mora biti $(-2) \cdot (-3) = 6$. Zato je proizvod dva negativna broja pozitivan. Vidi se i iz niza $2 \cdot (-3) = -6$, $1 \cdot (-3) = -3$, $0 \cdot (-3) = 0$: svaki put proizvod raste za 3, pa je sledeći $(-1) \cdot (-3) = 3$, pa $(-2) \cdot (-3) = 6$.
- Pravilo znaka
- Pomnožimo apsolutne vrednosti, a znak odredimo ovako: ako su činioci istog znaka, proizvod je pozitivan; ako su različitog znaka, proizvod je negativan. Tako je $(-7) \cdot (-8) = 56$, $(-7) \cdot 8 = -56$ i $7 \cdot (-8) = -56$. Apsolutna vrednost proizvoda je proizvod apsolutnih vrednosti: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
- Množenje sa −1, sa 1 i sa 0
- Množenje brojem $-1$ daje suprotan broj: $(-1) \cdot 9 = -9$, $(-1) \cdot (-9) = 9$. Množenje brojem $1$ ne menja broj (1 je neutralni element množenja), a proizvod sa nulom je uvek nula: $(-25) \cdot 0 = 0$.
- Više činilaca
- Ako nijedan činilac nije nula, prebrojimo negativne činioce: ako ih je paran broj, proizvod je pozitivan; ako ih je neparan broj, proizvod je negativan. $(-1) \cdot (-1) = 1$, pa svaki par minusa „nestane“. Na primer, $7 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-1)$ ima tri negativna činioca, pa je proizvod $-42$. Ako je bar jedan činilac nula, proizvod je nula.
- Zakoni množenja
- I za cele brojeve važi: $a \cdot b = b \cdot a$ (komutativnost), $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (asocijativnost) i $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (distributivnost). Distributivnost pomaže u računanju napamet: $(-6) \cdot 47 + (-6) \cdot 53 = (-6) \cdot 100 = -600$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | prirodni brojevi (apsolutne vrednosti činilaca) | — |
Isti znak — pozitivan proizvod; različit znak — negativan.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $-a$ | broj suprotan broju $a$ | — |
Jedinica je neutralni element množenja.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b, c$ | celi brojevi | — |
Važi i za negativne brojeve.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko je $5 \cdot (-4)$?
2. Koliko je $(-6) \cdot (-7)$?
3. Proizvod dva negativna broja je…
4. Šta uvek dobijamo kada broj pomnožimo sa $-1$?
5. Koliko je $(-2) \cdot (-3) \cdot (-1)$?
6. Koliko je $(-15) \cdot 0$?
7. Proizvod šest činilaca, od kojih su četiri negativna, a nijedan nije nula, je…
8. Koji broj pomnožen sa $-4$ daje $28$?
9. Čemu je jednako $|(-4) \cdot 9|$?
10. Koja jednakost je tačna?
Rešeni zadaci
Nivo vode u bazenu pada 4 cm na sat. Za koliko se promeni za 5 sati, a koliko je viši bio pre 3 sata?
-
$5 \cdot (-4) = -20$Za 5 sati: pet puta po $-4$ cm — nivo je 20 cm niži.
-
$(-3) \cdot (-4) = 12$Pre 3 sata (vreme $-3$): nivo je bio 12 cm viši nego sada.
Izračunaj $(-12) \cdot (-5)$ i $9 \cdot (-13)$.
-
$(-12) \cdot (-5) = 12 \cdot 5 = 60$Isti znak: proizvod je pozitivan.
-
$9 \cdot (-13) = -(9 \cdot 13) = -117$Različit znak: proizvod je negativan.
Izračunaj $(-2) \cdot 5 \cdot (-3) \cdot (-1) \cdot 4$.
-
Negativni činioci: $-2$, $-3$, $-1$ — ima ih tri (neparan broj).Nijedan činilac nije nula, pa je proizvod negativan.
-
$2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 = 120$, pa je proizvod $-120$Pomnožimo apsolutne vrednosti, pa dodamo znak.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Bazen se puni: nivo raste 7 cm svakog sata (promena za sat je $7$ cm). Sada je voda visoka 170 cm. Koliko je visoka bila voda pre 3 sata? (Vreme u prošlosti računaj kao negativno.)
Izračunaj $(-9) \cdot (-9) \cdot (-3)$.
Izračunaj napamet, koristeći distributivnost: $(-6) \cdot 2 + (-6) \cdot 8$.
Proizvod pet celih brojeva je negativan. Koliko među njima može biti negativnih?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 8. Deljenje celih brojeva — koliko se balon spusti svakog minuta?