Osna simetrija — kako se drvo ogleda u mirnoj vodi?

Osnosimetrične tačke (na istoj normali na osu, sa raznih strana, jednako udaljene), tačke ose se preslikavaju u sebe, konstrukcija slike tačke trouglom i šestarom, slika duži, ugla, prave i poluprave u različitim položajima prema osi, slika trougla (i kada osa sadrži teme) i kružnice, osna simetrija na kvadratnoj mreži.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/158

Video

Kad je jezero potpuno mirno, drvo na obali vidi se i u vodi — naopako, ali iste veličine. Vrh krošnje i njegov odraz jednako su udaljeni od površine vode. Šta matematika kaže o takvom „preslikavanju preko linije“? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Odraz u vodi: Površina mirne vode je kao prava $s$. Vrh drveta $V$ i njegov odraz $V_1$ leže na istoj pravoj normalnoj na površinu vode, sa raznih strana i jednako udaljeni od nje. Tako radi i osna simetrija: svakoj tački pridružuje tačku „preko“ prave $s$. Prava $s$ je osa simetrije.
Osnosimetrične tačke: Tačke $K$ i $K_1$ su osnosimetrične u odnosu na pravu $s$ ako važi sve troje: $K_1$ je na normali iz $K$ na pravu $s$, tačke $K$ i $K_1$ su sa raznih strana prave $s$, i obe su jednako udaljene od $s$. Rastojanje tačke $K$ od ose kratko pišemo $d(K, s)$. Dužina duži $KK_1$ je dvostruko rastojanje: $KK_1 = 2 \cdot d(K, s)$.
Tačke na osi: Tačka koja leži na osi $s$ preslikava se sama u sebe — ona je već „na ogledalu“. Zato se i cela osa preslikava sama u sebe.
Kako se crta slika tačke: Trouglom (ivice uz prav ugao) povučemo kroz $K$ normalu na osu $s$; ona seče osu u tački $P$. Šestarom prenesemo dužinu $KP$ na normalu sa druge strane ose, od $P$ — dobijamo $K_1$, tako da je $PK_1 = KP$.
Duž i ugao: Osna simetrija čuva veličinu: duž se preslikava u jednako dugu duž, a ugao u jednak ugao. Za sliku duži $AB$ dovoljno je preslikati krajeve. Ako duž seče osu, ona i slika imaju zajedničku tačku na osi. Ako je duž normalna na osu i seče je, slika leži na istoj pravoj i delom se poklapa sa duži.
Slika prave: Ako prava seče osu, a nije normalna na nju, slika je prava kroz istu tačku ose, „nagnuta na drugu stranu“. Ako je prava normalna na osu, preslikava se sama u sebe (njene tačke samo zamene strane). Ako je prava paralelna osi (a nije sama osa), slika je prava paralelna osi, na istom rastojanju sa druge strane. Sliku prave crtamo preslikavanjem dve njene tačke.
Slika poluprave: Polupravu preslikamo tako što preslikamo njen početak i još jednu njenu tačku. Ako poluprava seče osu, njena slika polazi iz slike početka i prolazi kroz istu tačku ose. Ako je normalna na osu i seče je, slika je na istoj pravoj, okrenuta na drugu stranu, i delom se poklapa sa polupravom. Ako je paralelna osi ili ne dodiruje osu, ni slika ne dodiruje osu.
Slika trougla: Trougao preslikamo preslikavanjem tri temena. Ako jedno teme leži na osi, ono ostaje na mestu, pa trougao i slika imaju zajedničko teme. Ako cela stranica leži na osi, trougao i slika imaju zajedničku stranicu i zajedno čine jednu veću figuru.
Slika kružnice: Kružnica $k(O, r)$ preslikava se u kružnicu istog poluprečnika čiji je centar $O_1$ slika centra $O$. Ako osa prolazi kroz centar, kružnica se preslika sama u sebe. Ako je rastojanje centra od ose jednako poluprečniku, kružnica i slika se dodiruju u jednoj tački na osi. Ako je manje (a nije nula), seku se u dve tačke na osi; ako je veće, nemaju zajedničkih tačaka.
Na kvadratnoj mreži: Na kvadratnoj mreži sa osom duž jedne linije mreže sliku tačke nalazimo brojanjem kvadratića: tačka koja je 3 kvadratića levo od uspravne ose ima sliku 3 kvadratića desno od ose, u istom redu.

Formule

Osnosimetrične tačke

K K_1 \perp s, \qquad d(K, s) = d(K_1, s), \qquad K K_1 = 2 \cdot d(K, s)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$s$	osa simetrije	—
$d(K, s)$	rastojanje tačke K od ose	cm

Tačke ose preslikavaju se same u sebe.

Slika kružnice

k(O, r) \;\rightarrow\; k_1(O_1, r)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$O_1$	slika centra $O$	—
$r$	isti poluprečnik	cm

Duž → jednako duga duž, ugao → jednak ugao.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta važi za osnosimetrične tačke $K$ i $K_1$?

2. U šta se preslikava tačka koja leži na osi simetrije?

3. Tačka je 4 cm od ose. Koliko je udaljena od svoje slike?

4. U šta se preslikava duž od 5 cm?

5. Kako se preslikava prava normalna na osu?

6. U šta se preslikava prava paralelna osi (a nije osa)?

7. Šta je dovoljno preslikati da bi se dobila slika trougla?

8. Koliki je poluprečnik slike kružnice poluprečnika 3 cm?

9. Kada se kružnica preslika sama u sebe?

10. Čime najlakše crtamo normalu iz tačke na osu?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Vrh drveta je 6,5 m iznad mirne vode. Koliko je vrh udaljen od svog odraza u vodi?

Površina vode je osa; vrh i odraz su jednako udaljeni od nje, sa raznih strana.

Osnosimetrične tačke.
$2 \cdot 6{,}5 = 13$

Rastojanje tačke i slike je dvostruko rastojanje od ose.

Odgovor: 13 m.

Zadatak 2

Teme $C$ trougla $CDE$ leži na osi $s$, a $D$ i $E$ su sa iste strane ose. Kako izgleda slika trougla?

$C$ ostaje na mestu; preslikamo $D$ i $E$ u $D_1$ i $E_1$ sa druge strane ose.

Tačka ose preslikava se u sebe.
Trougao $CD_1E_1$ ima sa trouglom $CDE$ zajedničko teme $C$.

Stranice i uglovi slike jednaki su stranicama i uglovima trougla.

Odgovor: Trougao $CD_1E_1$ sa zajedničkim temenom $C$.

Zadatak 3

Kružnica $k(O, 2\ \mathrm{cm})$ ima centar 1,5 cm od ose $s$. Koliko zajedničkih tačaka imaju $k$ i njena slika?

$1{,}5 < 2$

Rastojanje centra od ose manje je od poluprečnika, pa osa seče kružnicu.
Kružnica i slika seku se u dve tačke — baš u tačkama gde osa seče kružnicu.

Te tačke su na osi, pa se preslikavaju u sebe.

Odgovor: Dve zajedničke tačke.

Zadatak 4

Na kvadratnoj mreži osa je jedna uspravna linija. Tačka $A$ je 2 kvadratića levo od ose, a $B$ je 5 kvadratića desno, u istom redu. Koliko je kvadratića između $A_1$ i $B$?

$A_1$ je 2 kvadratića desno od ose.

Slika je na istom rastojanju sa druge strane.
$5 - 2 = 3$

Obe su desno od ose, u istom redu.

Odgovor: 3 kvadratića.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Tačke $A$ i $B$ su sa iste strane ose $s$, na istoj normali na osu: $A$ je $3{,}1$ cm, a $B$ je $1{,}9$ cm od ose. Kolika je dužina duži $A_1B$, gde je $A_1$ slika tačke $A$?

Zadatak 2

Kružnica $k(O, 4{,}7\ \mathrm{cm})$ preslikana je osnom simetrijom u kružnicu $k_1(O_1, 4{,}7\ \mathrm{cm})$, a $OO_1 = 6{,}6$ cm. Koliko zajedničkih tačaka imaju $k$ i $k_1$? Upiši broj (0, 1 ili 2).

Zadatak 3

Na kvadratnoj mreži osa simetrije je jedna uspravna linija mreže. Tačka $A$ je 9 kvadratića levo ose, a tačka $B$ je 1 kvadratić levo ose, u istom redu. Koliko je kvadratića između tačaka $A_1$ i $B$, gde je $A_1$ slika tačke $A$?

Zadatak 4

Prava $p$ seče osu $s$ u tački $T$ i nije normalna na $s$. Šta važi za njenu sliku $p_1$?

Zadatak 5

Poluprava $Ox$ je normalna na osu $s$ i seče je. Kakva je njena slika?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 45. Osnosimetrične figure — gde treba postaviti ogledalo?