Nejednačine sa množenjem i deljenjem — koliko kutija sme u lift?

Nejednačine sa nepoznatim činiocem, deljenikom i deliocem kod razlomaka i decimalnih brojeva, znak se okreće kod nepoznatog delioca, uslovi x ≥ 0 i x ≠ 0 (nulom se ne deli), izrazi „nije veći od“ i „nije manji od“, skup rešenja na brojevnoj polupravoj, prirodni brojevi koji su rešenja, zadaci iz svakodnevnog života.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/157

Video

Lift u zgradi sme da ponese najviše 480 kg. Majstori unose kutije pločica od po 22,5 kg. Koliko najviše kutija sme odjednom u lift? Rešenje nije jedan broj nego čitav skup — a pošto se kutije ne seku, tražimo najveći prirodan broj u njemu. Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Nepoznati činilac: Nejednačinu rešavamo kao jednačinu: iz $0{,}8 \cdot x \le 6$ dobijamo $x \le 6 : 0{,}8 = 7{,}5$. Kad množimo brojem većim od nule, znak nejednakosti ostaje isti. Uz uslov $x \ge 0$, skup rešenja je $0 \le x \le 7{,}5$.
Nepoznati deljenik: Iz $x : \frac{3}{4} < 2$ dobijamo $x < 2 \cdot \frac{3}{4} = 1\frac{1}{2}$ — znak ostaje isti. Uz uslov $x \ge 0$, skup rešenja je $0 \le x < 1\frac{1}{2}$.
Nepoznati delilac — znak se okreće: Što je delilac veći, količnik je manji. Zato se kod nepoznatog delioca znak okreće: iz $6 : x > 2$ dobijamo $x < 6 : 2 = 3$. Nulom se ne deli, pa $x \ne 0$: skup rešenja je $0 < x < 3$. Na brojevnoj polupravoj oba kraja crtamo praznim kružićem.
„Nije veći od“ i „nije manji od“: „Nije veći od“ znači „manji ili jednak“ ($\le$), a „nije manji od“ znači „veći ili jednak“ ($\ge$). „Kada nepoznati broj pomnožimo sa $1{,}2$, dobijemo najviše 6“ zapisujemo $1{,}2 \cdot x \le 6$, pa je $x \le 5$, tj. $0 \le x \le 5$.
Na brojevnoj polupravoj: Skup rešenja crtamo kao deo poluprave: pun kružić za granicu koja pripada skupu ($\le$, $\ge$), prazan za granicu koja ne pripada ($<$, $>$), a kod nepoznatog delioca prazan kružić i kod nule.
Dva uslova odjednom: Ponekad nepoznata mora da zadovolji dve nejednačine. Četiri jednake olovke koštaju više od 300, a manje od 320 dinara: $300 < 4 ' + D + 'cdot x < 320$. Svaku stranu delimo sa 4: $75 < x < 80$ — olovka košta između 75 i 80 dinara.
Prirodni brojevi u skupu rešenja: Kad su rešenja broj komada, dece, kutija…, tražimo samo prirodne brojeve. Iz $x \le 7{,}5$ najveći prirodan broj je 7. Iz $1{,}5 \cdot x > 10$ dobijamo $x > 6\frac{2}{3}$, pa je najmanji prirodan broj 7.

Formule

Činilac i deljenik

a \cdot x < b \Rightarrow x < b : a, \qquad x : a < b \Rightarrow x < b \cdot a

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	pozitivan poznati broj	—

Znak ostaje isti; uz to $x \ge 0$.

Delilac

a : x > b \Rightarrow x < a : b \quad (x \ne 0)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$x$	nepoznati delilac	—

Kod nepoznatog delioca znak se okreće, a nula nije rešenje.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta dobijamo iz $4 \cdot x < 10$?

2. Šta dobijamo iz $x : 3 \ge 1{,}2$?

3. Šta dobijamo iz $9 : x < 1{,}5$?

4. Kada se kod ovih nejednačina znak okreće?

5. Zašto u nejednačini $5 : x > 1$ broj 0 nije rešenje?

6. Šta znači „nije veći od 7“?

7. Šta znači „nije manji od 2“?

8. Koji je najveći prirodan broj za koji važi $x \le 5\frac{2}{3}$?

9. Koji je najmanji prirodan broj za koji važi $x > 3{,}2$?

10. Kako na polupravoj izgleda kraj skupa rešenja ako je znak $\le$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Lift sme da ponese najviše 480 kg, a jedna kutija pločica ima 22,5 kg. Koliko najviše kutija sme odjednom u lift?

$22{,}5 \cdot x \le 480$, pa je $x \le 480 : 22{,}5 = 4\,800 : 225 = 21\frac{1}{3}$

Nepoznati činilac; znak ostaje.
Najveći prirodan broj koji nije veći od $21\frac{1}{3}$ je 21.

Kutije su prirodan broj.

Odgovor: Najviše 21 kutija.

Zadatak 2

Reši nejednačinu $x : 2\frac{1}{2} \le \frac{4}{5}$.

$x \le \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} = 2$

Nepoznati deljenik; znak ostaje.
$0 \le x \le 2$

Uz uslov $x \ge 0$.

Odgovor: $0 \le x \le 2$

Zadatak 3

Reši nejednačinu $2{,}4 : x \le 0{,}6$.

$x \ge 2{,}4 : 0{,}6 = 24 : 6 = 4$

Nepoznati delilac — znak se okreće.
$x \ge 4$

Nula ionako nije među rešenjima; pun kružić kod 4 i deo poluprave nadesno.

Odgovor: $x \ge 4$

Zadatak 4

Koliko je najmanje tegli od $\frac{3}{4}$ kg potrebno da stane $5\frac{1}{2}$ kg meda?

$\frac{3}{4} \cdot x \ge 5\frac{1}{2}$, pa je $x \ge \frac{11}{2} : \frac{3}{4} = \frac{11}{2} \cdot \frac{4}{3} = 7\frac{1}{3}$

U tegle mora da stane bar sav med.
Najmanji prirodan broj veći od $7\frac{1}{3}$ je 8.

Sa 7 tegli ostalo bi meda.

Odgovor: Najmanje 8 tegli.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Polica sme da nosi najviše 27 kg. Jedna knjiga ima 1,2 kg. Koliko najviše knjiga sme da stoji na polici?

Zadatak 2

Koliko prirodnih brojeva je rešenje nejednačine $x : 3\frac{1}{10} < 1$?

Zadatak 3

Koji je najmanji prirodan broj koji je rešenje nejednačine $8{,}5 : x \le 0{,}6$?

Zadatak 4

Koji je skup rešenja nejednačine $7{,}5 : x \ge 2{,}5$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 44. Osna simetrija — kako se drvo ogleda u mirnoj vodi?