Razmera i aritmetička sredina — koliko je dugo dvorište sa plana u razmeri 1 : 400?

Razmera dva broja (a : b, b ≠ 0) i njena vrednost, jednake razmere (proširivanje i skraćivanje), razmera dve veličine iste jedinice, razmera na planu i karti, podela veličine u datoj razmeri, aritmetička sredina (prosek) dva ili više brojeva.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/163

Video

Na planu školskog dvorišta piše „razmera 1 : 400“. Dvorište je na planu dugo 14 cm — koliko je dugo zaista? A kad Jana skoči u dalj četiri puta, koliki je njen prosečan skok? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Razmera: Razmera dva broja $a$ i $b$ (pri čemu $b \ne 0$) je njihov količnik $a : b$; čita se „$a$ prema $b$“. Brojevi $a$ i $b$ su članovi razmere, a broj koji dobijemo deljenjem je vrednost razmere: razmera $6 : 15$ ima vrednost $\frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4$.
Jednake razmere: Kao kod razlomka, vrednost razmere se ne menja kad oba člana pomnožimo ili podelimo istim brojem (koji nije nula): $6 : 15 = 2 : 5 = 12 : 30$. Razmere koje imaju istu vrednost su jednake. Zato razmeru obično skratimo: $45 : 60 = 3 : 4$.
Razmera dve veličine: Kad poredimo dve veličine, obe izrazimo istom jedinicom: $50$ cm i $2$ m je $50 : 200 = 1 : 4$. U garaži je 18 dečjih i 12 odraslih bicikala; razmera dečjih prema odraslim je $18 : 12 = 3 : 2$ — dečjih ima jedan i po put više.
Razmera na planu i karti: Razmera $1 : 400$ na planu znači da je 1 cm na planu 400 cm u stvarnosti. Dvorište dugo 14 cm na planu stvarno je dugo $14 \cdot 400 = 5\,600$ cm $= 56$ m. Obrnuto, staza duga 30 m (3 000 cm) na planu je duga $3\,000 : 400 = 7{,}5$ cm.
Podela u datoj razmeri: Kada 45 bombona podelimo Ani i Luki u razmeri $4 : 5$, celinu delimo na $4 + 5 = 9$ jednakih delova: jedan deo je $45 : 9 = 5$ bombona. Ana dobija $4 \cdot 5 = 20$, a Luka $5 \cdot 5 = 25$ bombona.
Aritmetička sredina: Aritmetička sredina (prosek) nekoliko brojeva je njihov zbir podeljen brojem sabiraka. Jana je skočila $3{,}2$ m, $3{,}5$ m, $3{,}1$ m i $3{,}4$ m: prosek je $(3{,}2 + 3{,}5 + 3{,}1 + 3{,}4) : 4 = 13{,}2 : 4 = 3{,}3$ m. Prosek nikad nije manji od najmanjeg ni veći od najvećeg broja.
Nepoznati broj iz proseka: Ako znamo prosek i broj podataka, znamo i zbir: prosek 4 iz pet ocena znači zbir $5 \cdot 4 = 20$. Tako možemo naći ocenu koja nedostaje: ako su četiri ocene $3, 5, 4, 3$ (zbir 15), peta je $20 - 15 = 5$.

Formule

Razmera

a : b = \frac{a}{b} \quad (b \ne 0), \qquad a : b = (a \cdot k) : (b \cdot k)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	članovi razmere	—
$k$	broj različit od nule	—

Na planu: stvarna dužina = dužina na planu · drugi član razmere (kada je prvi 1).

Aritmetička sredina

s = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a_1, \ldots, a_n$	podaci	—
$n$	broj podataka	—

Zbir podataka $= n \cdot s$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta je razmera $a : b$?

2. Kolika je vrednost razmere $9 : 12$?

3. Koja razmera je jednaka razmeri $2 : 3$?

4. Šta znači razmera $1 : 1\,000$ na planu?

5. Kolika je razmera 40 cm prema 2 m?

6. Kako se računa aritmetička sredina?

7. Kolika je aritmetička sredina brojeva 4, 6 i 8?

8. Prosek tri broja je 5. Koliki je njihov zbir?

9. Podela 20 jabuka u razmeri $1 : 3$ daje:

10. Šta važi za prosek brojeva?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Na planu u razmeri $1 : 400$ dvorište je dugo 14 cm. Koliko je dugo zaista?

$14 \cdot 400 = 5\,600\ \mathrm{cm}$

Svaki centimetar plana je 400 cm u stvarnosti.
$5\,600\ \mathrm{cm} = 56\ \mathrm{m}$

Pretvorimo u metre.

Odgovor: 56 m.

Zadatak 2

Skrati razmeru $1{,}2 : 0{,}8$.

$1{,}2 : 0{,}8 = 12 : 8$

Oba člana pomnožimo sa 10.
$12 : 8 = 3 : 2$

Skratimo sa 4.

Odgovor: $3 : 2$

Zadatak 3

Traka duga 2,4 m deli se u razmeri $3 : 5$. Koliko su dugi delovi?

$3 + 5 = 8$ delova; $2{,}4 : 8 = 0{,}3$ m

Jedan deo.
$3 \cdot 0{,}3 = 0{,}9$ m i $5 \cdot 0{,}3 = 1{,}5$ m

Provera: $0{,}9 + 1{,}5 = 2{,}4$.

Odgovor: 0,9 m i 1,5 m.

Zadatak 4

Jana je skočila 3,2 m, 3,5 m, 3,1 m i 3,4 m. Koliki je njen prosečan skok?

$3{,}2 + 3{,}5 + 3{,}1 + 3{,}4 = 13{,}2$

Saberemo sve skokove.
$13{,}2 : 4 = 3{,}3$

Podelimo brojem skokova.

Odgovor: 3,3 m.

Test

Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).

Zadatak 1

Bazen je dug 34 m. Koliko centimetara je dug na planu u razmeri $1 : 250$?

Zadatak 2

Kolika je razmera dužina 20 cm i 1 m? Napiši je skraćenu, u obliku „a : b“ (npr. 3 : 8) ili kao razlomak (3/8).

Zadatak 3

Dva odeljenja zasadila su sadnice u razmeri $3 : 4$; ukupno ih je zasađeno 84. Koliko je zasadilo prvo odeljenje?

Zadatak 4

Tokom 5 dana temperatura vazduha u podne bila je (u °C): 11,5; 15,4; 13,2; 17,3; 18,5. Kolika je prosečna temperatura (aritmetička sredina)?

Zadatak 5

Sanja ima iz geografije ukupno šest ocena, a prosek (aritmetička sredina) im je tačno 3. Poznate ocene su 5, 2, 3, 3, 3. Kolika je poslednja ocena?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Još časova: Procenti — koliko koštaju patike na sniženju od 30 %? · Simetrala ugla — gde postaviti klupu jednako udaljenu od dve staze?