Jednačine sa množenjem i deljenjem — kolika je masa jednog paketa?

Složene jednačine koje se „odmotavaju“ korak po korak, nepoznati činilac, deljenik i delilac kod razlomaka i decimalnih brojeva, provera rešenja, jednačine sa zagradom, postavljanje jednačine iz teksta.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/156

Video

U kutiji su tri jednaka paketa keksa i kesica bombona od 0,4 kg. Sve zajedno ima masu 2,5 kg. Kolika je masa jednog paketa? Ovde je nepoznat broj prvo pomnožen, pa mu je dodat drugi broj — jednačinu „odmotavamo“ korak po korak. Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Odmotavanje od kraja: Masu paketa označimo sa $x$: $3 \cdot x + 0{,}4 = 2{,}5$. Nad nepoznatom su urađene dve operacije — prvo množenje sa 3, pa dodavanje $0{,}4$. Odmotavamo ih obrnutim redom: celo $3 \cdot x$ je nepoznati sabirak, $3 \cdot x = 2{,}5 - 0{,}4 = 2{,}1$; zatim je $x$ nepoznati činilac, $x = 2{,}1 : 3 = 0{,}7$. Provera: $3 \cdot 0{,}7 + 0{,}4 = 2{,}5$.
Nepoznati činilac: Nepoznati činilac dobijamo kad proizvod podelimo poznatim činiocem: ako je $a \cdot x = b$ (i $a \ne 0$), onda je $x = b : a$. Primer: $1\frac{3}{5} \cdot x = 6$, pa je $x = 6 : \frac{8}{5} = 6 \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$.
Nepoznati deljenik: Nepoznati deljenik dobijamo kad količnik pomnožimo deliocem: ako je $x : a = b$ (i $a \ne 0$), onda je $x = b \cdot a$. Primer: $x : 0{,}4 = 2{,}5$, pa je $x = 2{,}5 \cdot 0{,}4 = 1$.
Nepoznati delilac: Nepoznati delilac dobijamo kad deljenik podelimo količnikom: ako je $a : x = b$ (i $b \ne 0$), onda je $x = a : b$. Primer: $\frac{9}{10} : x = \frac{3}{4}$, pa je $x = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.
Uvek provera: Rešenje vratimo u jednačinu i izračunamo levu stranu. Kod delioca i činioca lako se pomeša šta s čim delimo — provera to odmah otkrije.
Jednačina sa zagradom: Zagradu posmatramo kao jedan broj. U $\left(x - \frac{2}{3}\right) : 5 = \frac{2}{15}$ zagrada je nepoznati deljenik: $x - \frac{2}{3} = \frac{2}{15} \cdot 5 = \frac{2}{3}$. Zatim je $x$ nepoznati umanjenik: $x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Jednačina iz teksta: Nepoznatu veličinu označimo sa $x$ i rečenicu prevedemo u jednačinu. „Kada zamišljeni broj pomnožim sa $\frac{2}{3}$ i dodam 1, dobijem 5“ znači $\frac{2}{3} \cdot x + 1 = 5$, pa je $\frac{2}{3} \cdot x = 4$ i $x = 6$.

Formule

Činilac, deljenik, delilac

a \cdot x = b \Rightarrow x = b : a, \quad x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a, \quad a : x = b \Rightarrow x = a : b

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$x$	nepoznata	—
$a, b$	poznati brojevi; broj kojim se deli nije nula	—

Uvek proveri rešenje.

Složena jednačina

a \cdot x + c = b \;\Rightarrow\; a \cdot x = b - c \;\Rightarrow\; x = (b - c) : a

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a \cdot x$	posmatramo kao jedan nepoznati sabirak	—

Odmotavamo od poslednje operacije ka prvoj.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kako dobijamo nepoznati činilac?

2. Kako dobijamo nepoznati deljenik?

3. Kako dobijamo nepoznati delilac?

4. Koje je rešenje jednačine $4 \cdot x = 3$?

5. Koje je rešenje jednačine $x : 2 = 0{,}35$?

6. Koje je rešenje jednačine $6 : x = 1{,}5$?

7. Šta prvo radimo u jednačini $2 \cdot x - 1 = 0{,}6$?

8. Koje je rešenje jednačine $\frac{1}{3} \cdot x = \frac{2}{9}$?

9. Koja jednačina opisuje rečenicu „Kad broj podelim sa 4, dobijem 0,8“?

10. Zašto u jednačini $a \cdot x = b$ mora biti $a \ne 0$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

U kutiji su tri jednaka paketa i kesica od 0,4 kg; sve zajedno ima masu 2,5 kg. Kolika je masa jednog paketa?

$3 \cdot x + 0{,}4 = 2{,}5$, pa je $3 \cdot x = 2{,}1$

Masu paketa označimo sa $x$; $3 \cdot x$ je nepoznati sabirak.
$x = 2{,}1 : 3 = 0{,}7$

Nepoznati činilac.

Odgovor: 0,7 kg. Provera: $3 \cdot 0{,}7 + 0{,}4 = 2{,}5$.

Zadatak 2

Reši jednačinu $x : 1\frac{1}{5} = \frac{5}{8}$.

$x = \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5}$

Nepoznati deljenik: količnik pomnožimo deliocem.
$x = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{4}$

Skratimo 5 i 5, a 6 i 8 sa 2.

Odgovor: $x = \frac{3}{4}$

Zadatak 3

Reši jednačinu $4{,}8 : x - 0{,}5 = 1{,}1$.

$4{,}8 : x = 1{,}1 + 0{,}5 = 1{,}6$

Celo $4{,}8 : x$ je nepoznati umanjenik.
$x = 4{,}8 : 1{,}6 = 48 : 16 = 3$

Nepoznati delilac: deljenik podelimo količnikom.

Odgovor: $x = 3$; provera: $4{,}8 : 3 - 0{,}5 = 1{,}6 - 0{,}5 = 1{,}1$.

Zadatak 4

Reši jednačinu $\frac{3}{5} \cdot \left(x - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5}$.

$x - \frac{1}{3} = \frac{2}{5} : \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{3}$

Zagrada je nepoznati činilac.
$x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$

Nepoznati umanjenik.

Odgovor: $x = 1$

Test

Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).

Zadatak 1

Reši jednačinu $x : 4{,}4 = 2{,}5$.

Zadatak 2

Reši jednačinu $4{,}4 \cdot x + 2{,}9 = 14{,}34$.

Zadatak 3

Reši jednačinu $x : 0{,}5 - 2{,}9 = 2{,}7$.

Zadatak 4

Mina je zamislila broj. Kada ga podeli sa $\frac{1}{6}$ i oduzme $3\frac{1}{2}$, dobije $128\frac{1}{2}$. Koji broj je Mina zamislila? Napiši ga kao prirodan broj, nesvodljiv razlomak ili mešoviti broj.

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 43. Nejednačine sa množenjem i deljenjem — koliko kutija sme u lift?