Svojstva množenja i redosled računanja — koliko kilometara Jana pretrči za nedelju dana?

Redosled računskih operacija u izrazima sa razlomcima i decimalnim brojevima (zagrade, pa množenje i deljenje, pa sabiranje i oduzimanje), zamena mesta i združivanje činilaca, broj 1 i broj 0 pri množenju i deljenju (deljenje nulom nije moguće), distributivnost množenja prema sabiranju i oduzimanju u oba smera, izrazi zadati rečima.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/155

Video

Jana radnim danima pretrči po 2,5 km, a subotom i nedeljom po 4,25 km. Koliko kilometara pretrči za nedelju dana? Ako izraz 5 · 2,5 + 2 · 4,25 računa redom sleva nadesno, dobiće pogrešan broj. Šta se računa prvo? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Šta se računa prvo: U izrazu prvo računamo ono što je u zagradama. Zatim množenja i deljenja (redom sleva nadesno), a tek na kraju sabiranja i oduzimanja (takođe sleva nadesno). Janina nedelja: $5 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 4{,}25 = 12{,}5 + 8{,}5 = 21$ km. Da smo računali redom, dobili bismo $(5 \cdot 2{,}5 + 2) \cdot 4{,}25 = 61{,}625$ — besmislicu.
Zamena mesta i združivanje činilaca: Proizvod se ne menja kad činiocima zamenimo mesta ili ih drugačije grupišemo. To koristimo za lakši račun: $0{,}25 \cdot 7{,}3 \cdot 4 = (0{,}25 \cdot 4) \cdot 7{,}3 = 1 \cdot 7{,}3 = 7{,}3$, ili $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{8}$. Dobri parovi: $0{,}5 \cdot 2$, $0{,}25 \cdot 4$, $0{,}2 \cdot 5$, $1{,}25 \cdot 8$ i recipročni brojevi.
Broj 1 i broj 0: Množenje jedinicom ne menja broj: $a \cdot 1 = a$. Proizvod sa nulom je nula: $a \cdot 0 = 0$. Nula podeljena bilo kojim brojem (osim nule) je nula: $0 : \frac{3}{7} = 0$. A deliti nulom nije moguće — nijedan broj pomnožen nulom ne daje, na primer, $5$, pa $5 : 0$ nema rezultat.
Distributivnost: Kad zbir množimo brojem, možemo da pomnožimo svaki sabirak: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$; isto važi i za razliku. Primer: $\frac{3}{4} \cdot \left(8 + \frac{4}{9}\right) = 6 + \frac{1}{3} = 6\frac{1}{3}$.
Izvlačenje zajedničkog činioca: Distributivnost koristimo i obrnuto, kad se isti činilac pojavljuje u oba proizvoda: $0{,}6 \cdot 4{,}5 + 0{,}6 \cdot 5{,}5 = 0{,}6 \cdot (4{,}5 + 5{,}5) = 0{,}6 \cdot 10 = 6$. Umesto dva teška množenja — jedno lako.
Izraz zadat rečima: Rečenicu pretvaramo u izraz i pazimo na zagrade. „Zbir brojeva $1{,}5$ i $\frac{2}{5}$ pomnoži sa 10“ je $(1{,}5 + 0{,}4) \cdot 10 = 19$ — zbir mora u zagradu, jer se prvo sabira. A „broju $1{,}5$ dodaj proizvod brojeva $\frac{2}{5}$ i 10“ je $1{,}5 + \frac{2}{5} \cdot 10 = 1{,}5 + 4 = 5{,}5$.

Formule

Redosled

(\;)\;\rightarrow\; \cdot,\ :\;\rightarrow\; +,\ -

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$(\;)$	zagrade — prvo	—
$\cdot, :$	množenje i deljenje — sleva nadesno	—

Sabiranje i oduzimanje na kraju, sleva nadesno.

Svojstva množenja

a \cdot b = b \cdot a, \quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \quad a \cdot 1 = a, \quad a \cdot 0 = 0, \quad a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b, c$	bilo koji brojevi koje znamo (prirodni, razlomci, decimalni)	—

$0 : a = 0$ (za $a \ne 0$); deljenje nulom nije moguće.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta se prvo računa u izrazu $7 - 1{,}2 : 4$?

2. Koliko je $3 + 0{,}5 \cdot 4$?

3. Koliko je $(3 + 0{,}5) \cdot 4$?

4. Koliko je $\frac{5}{9} \cdot 0$?

5. Koliko je $0 : \frac{2}{7}$?

6. Šta važi za $4{,}2 : 0$?

7. Koji par činilaca ima proizvod 1?

8. Šta pokazuje jednakost $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$?

9. Koji izraz odgovara rečenici „Zbir brojeva 2 i 0,6 pomnoži sa 3“?

10. Koliko je $0{,}7 \cdot 3 + 0{,}7 \cdot 7$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Jana radnim danima (5 dana) trči po 2,5 km, a vikendom (2 dana) po 4,25 km. Koliko kilometara pretrči za nedelju?

$5 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 4{,}25$

Prvo oba množenja, pa sabiranje.
$12{,}5 + 8{,}5 = 21$

Saberemo proizvode.

Odgovor: 21 km.

Zadatak 2

Izračunaj $2 \cdot 0{,}75 + \left(1{,}2 - \frac{3}{5}\right) \cdot 5$.

$1{,}2 - \frac{3}{5} = 1{,}2 - 0{,}6 = 0{,}6$

Prvo zagrada.
$2 \cdot 0{,}75 + 0{,}6 \cdot 5 = 1{,}5 + 3 = 4{,}5$

Zatim oba množenja, pa sabiranje.

Odgovor: $4{,}5$

Zadatak 3

Izračunaj na lakši način $1{,}25 \cdot 3{,}7 \cdot 8$.

$(1{,}25 \cdot 8) \cdot 3{,}7$

Zamenimo mesta činiocima i združimo $1{,}25$ i $8$.
$10 \cdot 3{,}7 = 37$

Množenje sa 10 je lako.

Odgovor: $37$

Zadatak 4

Izračunaj na lakši način $\frac{5}{6} \cdot 2{,}6 + \frac{5}{6} \cdot 3{,}4$.

$\frac{5}{6} \cdot (2{,}6 + 3{,}4)$

Isti činilac $\frac{5}{6}$ izvučemo ispred zagrade.
$\frac{5}{6} \cdot 6 = 5$

Zbir u zagradi je 6.

Odgovor: $5$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Izračunaj vrednost izraza $(12{,}9 + 0{,}3) \cdot 7$.

Zadatak 2

Izračunaj na što lakši način: $1{,}25 \cdot 9{,}11 \cdot 8$.

Zadatak 3

Izračunaj na što lakši način: $\frac{4}{7} \cdot 0{,}2 + \frac{4}{7} \cdot 10{,}8$. Rezultat napiši kao prirodan broj, razlomak ili mešoviti broj.

Zadatak 4

Izračunaj $\frac{3}{2} \cdot \left(6 + \frac{6}{7}\right)$ tako što pomnožiš svaki sabirak (distributivnost). Rezultat napiši kao prirodan broj, razlomak ili mešoviti broj.

Zadatak 5

Koji izraz odgovara rečenici „Od broja 10 oduzmi proizvod brojeva 1,5 i 4“?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 42. Jednačine sa množenjem i deljenjem — kolika je masa jednog paketa?