Recipročan broj i deljenje razlomaka — koliko čaša napuni jedan bokal?

Deljenje kao „koliko puta stane“, recipročan broj (proizvod je 1; za prirodan broj, razlomak, mešoviti i decimalni broj), deljenje razlomaka množenjem recipročnim brojem i zašto to važi, deljenje prirodnim brojem i prirodnog broja razlomkom, mešoviti brojevi, dvojni razlomak, kada je količnik veći od deljenika.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/153

Video

U bokalu je litar i po limunade, a jedna čaša prima četvrtinu litra. Koliko čaša možemo da napunimo? To je deljenje razlomaka: koliko puta četvrtina stane u litar i po. Ispostaviće se da se deljenje razlomaka svodi na množenje. Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Koliko puta stane: Deljenje može da znači i: koliko puta delilac stane u deljenik. U litar i po ($1\frac{1}{2} = \frac{6}{4}$ litra) četvrtina litra stane 6 puta: $1\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = 6$. Zato se bokal od litra i po prespe u 6 čaša od četvrt litra.
Recipročan broj: Broj $y$ je recipročan broju $x$ ako je $x \cdot y = 1$. Razlomku $\frac{a}{b}$ recipročan je $\frac{b}{a}$ — brojilac i imenilac zamene mesta: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$. Prirodnom broju $n$ recipročan je $\frac{1}{n}$. Mešoviti ili decimalni broj prvo zapišemo kao razlomak: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$, pa je recipročan $\frac{4}{9}$; $0{,}8 = \frac{4}{5}$, pa je recipročan $\frac{5}{4}$. Nula nema recipročan broj.
Deljenje je množenje recipročnim: Razlomak delimo razlomkom tako što deljenik pomnožimo recipročnim brojem delioca: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Primer: $\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$. Provera: $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ — tačno.
Zašto to važi: Količnik je broj koji pomnožen deliocem daje deljenik. Ako $\frac{a}{b}$ pomnožimo sa $\frac{d}{c}$ pa sa $\frac{c}{d}$, dobijamo $\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$. Dakle $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ je baš traženi količnik.
Prirodan broj kao delilac ili deljenik: Deliti prirodnim brojem znači množiti sa $\frac{1}{n}$: $\frac{4}{7} : 2 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{7}$. Prirodan broj podeljen razlomkom: $6 : \frac{2}{5} = 6 \cdot \frac{5}{2} = 15$ — dve petine stanu u 6 tačno 15 puta.
Mešoviti brojevi: Mešovite brojeve prvo zapišemo kao neprave razlomke: $3\frac{3}{5} : 1\frac{1}{5} = \frac{18}{5} : \frac{6}{5} = \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{6} = 3$.
Dvojni razlomak: Razlomak čiji su brojilac i imenilac takođe razlomci zove se dvojni razlomak. Razlomačka crta znači deljenje, pa je $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{4} : \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{6}{5}$. Kraće: proizvod „spoljašnjih“ brojeva ($3 \cdot 8$) podelimo proizvodom „unutrašnjih“ ($4 \cdot 5$): $\frac{24}{20} = \frac{6}{5}$.
Količnik može biti veći: Kad prirodan broj delimo prirodnim brojem većim od 1, količnik je manji od deljenika. Ali kad delimo pravim razlomkom (manjim od 1), količnik je veći od deljenika: $6 : \frac{2}{5} = 15 > 6$, jer manji delovi stanu više puta.

Formule

Recipročan broj

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1, \qquad n \cdot \frac{1}{n} = 1

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\frac{b}{a}$	recipročan broj razlomka $\frac{a}{b}$	—

Nula nema recipročan broj.

Deljenje razlomaka

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\frac{a}{b}$	deljenik	—
$\frac{c}{d}$	delilac	—

Dvojni razlomak: spoljašnji puta spoljašnji kroz unutrašnji puta unutrašnji.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koji broj je recipročan broju $\frac{2}{7}$?

2. Koji broj je recipročan broju 5?

3. Koliki je proizvod broja i njemu recipročnog broja?

4. Kako delimo razlomak razlomkom?

5. Koliko je $\frac{1}{2} : \frac{1}{4}$?

6. Koliko je $\frac{6}{7} : 3$?

7. Koji broj je recipročan broju $1\frac{1}{3}$?

8. Koliko puta $\frac{1}{3}$ stane u 2?

9. Šta važi za $5 : \frac{1}{2}$?

10. Koji broj nema recipročan broj?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

U bokalu je $1\frac{1}{2}$ litra limunade. Koliko čaša od $\frac{1}{4}$ litra može da se napuni?

$1\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{1}$

Mešoviti broj zapišemo kao nepravi razlomak; delimo — množimo recipročnim.
$\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} = 6$

Skratimo 4 i 2 sa 2.

Odgovor: 6 čaša.

Zadatak 2

Izračunaj $\frac{9}{10} : \frac{3}{5}$.

$\frac{9}{10} \cdot \frac{5}{3}$

Pomnožimo recipročnim brojem delioca.
$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Skratimo 9 i 3 sa 3, a 5 i 10 sa 5.

Odgovor: $1\frac{1}{2}$

Zadatak 3

Izračunaj $2\frac{2}{3} : 4$.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Deliti sa 4 znači množiti sa $\frac{1}{4}$.
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3}$

Skratimo 8 i 4 sa 4.

Odgovor: $\frac{2}{3}$

Zadatak 4

Izračunaj dvojni razlomak $\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{10}{9}}$.

$\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10}$

Spoljašnji puta spoljašnji kroz unutrašnji puta unutrašnji.
$\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

Skratimo sa 15.

Odgovor: $\frac{3}{4}$

Test

Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).

Zadatak 1

Izračunaj $2\frac{3}{4} : \frac{3}{8}$. Rezultat napiši kao nesvodljiv razlomak ili mešoviti broj.

Zadatak 2

Koji broj je recipročan broju $4\frac{2}{5}$? Napiši ga kao razlomak ili mešoviti broj.

Zadatak 3

U posudi je $2\frac{2}{5}$ kg meda. Koliko tegli od $\frac{2}{5}$ kg može da se napuni?

Zadatak 4

Izračunaj $14 : \frac{2}{3}$. Rezultat napiši kao prirodan broj, nesvodljiv razlomak ili mešoviti broj.

Zadatak 5

Izračunaj dvojni razlomak $\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}$. Rezultat napiši kao nesvodljiv razlomak ili mešoviti broj.

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 40. Deljenje decimalnih brojeva — koliko bombona dobija svako od osmoro drugara?