Nejednačine sa razlomcima — koliko još sme da stavi u ranac?
Nejednačina i skup rešenja (beskonačno mnogo razlomaka), rešavanje kao kod jednačina: nepoznati sabirak, umanjenik i umanjilac (kod umanjioca se znak okreće), dodatni uslovi (x ≥ 0, umanjenik nije manji od umanjioca), skup rešenja na brojevnoj polupravoj (pun i prazan kružić), dvostruka nejednačina, prirodni brojevi koji su rešenja.
Video
Pojmovi
- Nejednačina i njena rešenja
- Ako je $x$ masa koju Luka još stavlja, mora da važi $2{,}75 + x \le 4{,}5$. To je nejednačina. Njena rešenja su svi brojevi koji umesto $x$ daju tačnu nejednakost: $0$, $\frac{1}{2}$, $1$, $1{,}2$, $1{,}75$… Između nule i $1{,}75$ ima beskonačno mnogo razlomaka, pa nejednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Sva rešenja zajedno čine skup rešenja.
- Nepoznati sabirak i umanjenik
- Nejednačine rešavamo kao jednačine, samo umesto znaka $=$ stoji $<$, $\le$, $>$ ili $\ge$. Iz $x + 2{,}75 \le 4{,}5$ dobijamo $x \le 4{,}5 - 2{,}75$, tj. $x \le 1{,}75$; pošto $x$ ne može biti manji od nule, skup rešenja je $0 \le x \le 1{,}75$. Iz $x - \frac{1}{3} > \frac{5}{6}$ dobijamo $x > \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$ — znak ostaje isti.
- Nepoznati umanjilac — znak se okreće
- Što od broja oduzmemo više, razlika je manja. Zato se kod nepoznatog umanjioca znak okreće: iz $4 - x < 2\frac{1}{2}$ dobijamo $x > 4 - 2\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$. Pored toga, umanjilac ne sme biti veći od umanjenika, pa je $x \le 4$. Skup rešenja je $1\frac{1}{2} < x \le 4$.
- Dodatni uslovi
- Za sada znamo samo brojeve od nule naviše, pa uvek važi $x \ge 0$. Kod nepoznatog umanjenika mora biti $x$ najmanje koliko umanjilac: u $x - 2{,}4 < 3$ dobijamo $x < 5{,}4$, ali i $x \ge 2{,}4$, pa je skup rešenja $2{,}4 \le x < 5{,}4$. Na kraju uvek spojimo sve uslove.
- Na brojevnoj polupravoj
- Skup rešenja crtamo na brojevnoj polupravoj kao deo poluprave (obojen ili šrafiran). Ako granični broj pripada skupu rešenja ($\le$, $\ge$), kod njega crtamo pun kružić; ako ne pripada ($<$, $>$) — prazan kružić. Za $x > \frac{7}{6}$: prazan kružić kod $\frac{7}{6}$ i deo poluprave nadesno, bez kraja.
- Dvostruka nejednačina
- Zapis $\frac{5}{8} \le x < 2{,}4$ znači dve nejednačine odjednom: $x \ge \frac{5}{8}$ i $x < 2{,}4$. Skup rešenja je deo poluprave između ta dva broja — presek dva skupa: pun kružić kod $\frac{5}{8}$, prazan kod $2{,}4$.
- Prvo sredi
- Ako uz nepoznatu stoji više brojeva, prvo izračunamo ono što možemo: $x + 2{,}6 - 0{,}9 < 5$ postaje $x + 1{,}7 < 5$, pa je $x < 3{,}3$ (i $x \ge 0$).
- Prirodni brojevi u skupu rešenja
- Često pitamo koji prirodni brojevi su rešenja. Za $1\frac{1}{2} < x \le 4$ to su $2$, $3$ i $4$ — tri broja (broj $4$ jeste rešenje, jer je znak $\le$). Za $x > \frac{7}{6}$ najmanji prirodan broj koji je rešenje je $2$, a najvećeg nema.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $<, \le, >, \ge$ | manje, manje ili jednako, veće, veće ili jednako | — |
| $a, b$ | poznati brojevi (razlomci ili decimalni) | — |
Znak ostaje isti; uvek i $x \ge 0$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | umanjenik | — |
| $b$ | razlika | — |
Kod nepoznatog umanjioca znak se okreće.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliko rešenja ima nejednačina $x + \frac{1}{2} < 3$?
2. Šta dobijamo iz $x + 1{,}5 \le 4$?
3. Šta dobijamo iz $x - \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$?
4. Šta dobijamo iz $5 - x < 2$?
5. Kada se kod nejednačina znak okreće?
6. Šta znači pun kružić kod broja na brojevnoj polupravoj?
7. Koji znak ima nejednačina čiji granični broj NE pripada skupu rešenja?
8. Koji uslov važi u nejednačini $x - 2 < 1$, pored $x < 3$?
9. Koji prirodni brojevi zadovoljavaju $2{,}5 < x < 5$?
10. Šta znači zapis $1 < x \le 2$?
Rešeni zadaci
Lukin ranac sme da ima najviše 4,5 kg, a u njemu je već 2,75 kg. Koliko još kilograma sme da stavi?
-
$2{,}75 + x \le 4{,}5$Masu koju još stavlja označimo sa $x$.
-
$x \le 4{,}5 - 2{,}75 = 1{,}75$, a i $x \ge 0$Nepoznati sabirak; masa ne može biti manja od nule.
Reši nejednačinu $x - \frac{5}{12} > \frac{1}{4}$.
-
$x > \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$Nepoznati umanjenik: razlici dodamo umanjilac; znak ostaje.
-
Uslov $x \ge \frac{5}{12}$ je već ispunjen, jer je $\frac{2}{3} = \frac{8}{12} > \frac{5}{12}$.Spojimo uslove.
Reši nejednačinu $3\frac{1}{5} - x > 1{,}4$ i nađi sve prirodne brojeve koji su rešenja.
-
$x < 3{,}2 - 1{,}4 = 1{,}8$Nepoznati umanjilac: znak se okreće; $3 rac{1}{5} = 3{,}2$.
-
$0 \le x < 1{,}8$ (uslov $x \le 3{,}2$ je ispunjen)Spojimo uslove.
Prikaži na brojevnoj polupravoj skup rešenja $\frac{3}{4} \le x < 2{,}5$.
-
Pun kružić kod $\frac{3}{4}$Znak $\le$ — granični broj pripada skupu.
-
Prazan kružić kod $2{,}5$, a između njih obojen deo polupraveZnak $<$ — granični broj ne pripada skupu.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Koliko prirodnih brojeva je rešenje nejednačine $3\frac{2}{3} - x > 1\frac{1}{2}$?
Koji je najmanji prirodan broj koji je rešenje nejednačine $x + 2{,}7 > 8{,}3$?
Iz bureta je odliveno 13,5 l vode i u njemu je ostalo bar 42,4 l. Najmanje koliko litara vode je bilo u buretu?
Kako na brojevnoj polupravoj izgleda skup rešenja $\frac{3}{4} \le x < 2$?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 37. Množenje razlomaka — koliki deo bašte zauzima paradajz?