Sabiranje i oduzimanje razlomaka — koliko trake ostane posle mašne i narukvice?

Zajednički imenilac kao „isti delovi“ (NZS imenilaca), sabiranje i oduzimanje razlomaka jednakih i različitih imenilaca, više sabiraka sa + i −, zašto pravilo važi, prirodan broj kao razlomak n/1, sabiranje i oduzimanje mešovitih brojeva (pretvaranjem u neprave razlomke ili posebno cele i razlomke, uz pozajmljivanje celine).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/146

Video

Ana ima traku dugu jedan metar. Za mašnu odseče tri osmine metra, a za narukvicu jednu šestinu metra. Koliko je trake potrošila, a koliko joj je ostalo? Osmine i šestine ne mogu odmah da se saberu — prvo moraju da postanu „isti delovi“. Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

„Isti delovi“: Imenilac kaže na koliko jednakih delova je celina podeljena, a brojilac koliko takvih delova uzimamo. Osmine i šestine nisu isti delovi, pa ih ne možemo odmah sabrati. Ali ako traku podelimo na 24 jednaka dela, i osmine i šestine se mogu izraziti tim sitnijim delovima: jedna osmina su 3 dvadesetčetvrtine, a jedna šestina 4 dvadesetčetvrtine. Broj 24 je najmanji zajednički sadržalac brojeva 8 i 6: $\mathrm{NZS}(8, 6) = 24$.
Jednaki imenioci: Kad razlomci imaju isti imenilac, brojioce saberemo ili oduzmemo, a imenilac prepišemo — kao što su pet olovaka i dve olovke sedam olovaka: $\frac{5}{11} + \frac{2}{11} = \frac{7}{11}$, $\;\frac{9}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Tako se računa i sa više sabiraka, redom sleva nadesno: $\frac{5}{12} + \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Rezultat na kraju skratimo ako može.
Različiti imenioci: Razlomke najpre proširimo tako da dobiju zajednički imenilac — najzgodnije NZS imenilaca. Svaki razlomak proširimo brojem koji kaže koliko puta je NZS veći od njegovog imenioca. Za $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{10}$: $\mathrm{NZS}(4, 5, 10) = 20$, pa je $\frac{15}{20} - \frac{8}{20} + \frac{2}{20} = \frac{9}{20}$. Može i bilo koji drugi zajednički sadržalac (na primer proizvod imenilaca), ali tada su brojevi veći i rezultat skoro uvek treba skratiti.
Zašto pravilo važi: Razlomak $\frac{a}{n}$ je količnik $a : n$. Kad zbir ili razliku delimo nekim brojem, isto je kao da svaki sabirak podelimo tim brojem: $a : n + b : n = (a + b) : n$ i $a : n - b : n = (a - b) : n$ (za $a \ge b$). Zato je $\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}$.
Prirodan broj kao razlomak: Prirodan broj zapišemo kao razlomak sa imeniocem 1, $n = \frac{n}{1}$, pa ga proširimo do potrebnog imenioca. Tako razlomku dodajemo prirodan broj ili ga oduzimamo: $1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$, $\;\frac{23}{6} - 2 = \frac{23}{6} - \frac{12}{6} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$.
Mešoviti brojevi — dva načina: Mešovite brojeve možemo da pretvorimo u neprave razlomke: $1\frac{2}{3} + 2\frac{1}{2} = \frac{5}{3} + \frac{5}{2} = \frac{10}{6} + \frac{15}{6} = \frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$. Možemo i posebno sabrati cele, a posebno razlomljene delove: $1 + 2 = 3$, $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$, ukupno $4\frac{1}{6}$ — ako razlomci zajedno pređu celinu, ta celina se doda celima.
Pozajmljivanje celine: Kod oduzimanja mešovitih brojeva, ako je razlomljeni deo umanjenika manji od razlomljenog dela umanjioca, jednu celinu „pozajmimo“ i pretvorimo u razlomak: $4\frac{1}{6} - 1\frac{2}{3} = 4\frac{1}{6} - 1\frac{4}{6} = 3\frac{7}{6} - 1\frac{4}{6} = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2}$.

Formule

Jednaki imenioci

\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}, \qquad \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	brojioci	—
$n$	zajednički imenilac	—

Kod oduzimanja $a \ge b$.

Različiti imenioci

\frac{a}{m} + \frac{b}{n} = \frac{a \cdot n}{m \cdot n} + \frac{b \cdot m}{n \cdot m} = \frac{a \cdot n + b \cdot m}{m \cdot n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	brojioci	—
$m, n$	imenioci	—

Umesto $m \cdot n$ najbolje je uzeti $\mathrm{NZS}(m, n)$; prirodan broj je $k = \frac{k}{1}$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko je $\frac{2}{9} + \frac{5}{9}$?

2. Šta radimo sa imeniocem kad sabiramo razlomke jednakih imenilaca?

3. Koliko je $\frac{1}{3} + \frac{1}{5}$?

4. Koji je najmanji zajednički imenilac za $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{6}$?

5. Kako broj 3 zapisujemo kao razlomak sa imeniocem 1?

6. Koliko je $1 - \frac{2}{7}$?

7. Koliko je $2\frac{1}{4} + 1\frac{2}{4}$?

8. Koliko je $\frac{2}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{9}$?

9. Koliko je $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$?

10. Koliko je $4\frac{1}{5} - 1\frac{3}{5}$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Ana od trake duge 1 m odseče $\frac{3}{8}$ m za mašnu i $\frac{1}{6}$ m za narukvicu. Koliko je trake potrošila, a koliko je ostalo?

$\frac{3}{8} + \frac{1}{6} = \frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{13}{24}$

NZS(8, 6) = 24; prvi razlomak proširimo sa 3, a drugi sa 4.
$1 - \frac{13}{24} = \frac{24}{24} - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}$

Ceo metar zapišemo kao 24 dvadesetčetvrtine.

Odgovor: Potrošila je $\frac{13}{24}$ m, ostalo je $\frac{11}{24}$ m.

Zadatak 2

Izračunaj $\frac{9}{10} + \frac{4}{15}$.

$\mathrm{NZS}(10, 15) = 30$

$30 : 10 = 3$, $30 : 15 = 2$.
$\frac{9}{10} + \frac{4}{15} = \frac{27}{30} + \frac{8}{30} = \frac{35}{30}$

Proširimo sa 3 i sa 2, pa saberemo brojioce.
$\frac{35}{30} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

Skratimo sa 5 i zapišemo kao mešoviti broj.

Odgovor: $1\frac{1}{6}$

Zadatak 3

Izračunaj $2\frac{3}{8} + 3\frac{3}{4}$.

$2\frac{3}{8} + 3\frac{3}{4} = 5 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8}$

Cele saberemo posebno, a četvrtine pretvorimo u osmine.
$5\frac{9}{8} = 5 + 1\frac{1}{8} = 6\frac{1}{8}$

Devet osmina su jedna celina i jedna osmina.

Odgovor: $6\frac{1}{8}$

Zadatak 4

Izračunaj $5 - 2\frac{3}{7}$.

$5 = 4\frac{7}{7}$

Jednu celinu pozajmimo i zapišemo kao sedam sedmina.
$4\frac{7}{7} - 2\frac{3}{7} = 2\frac{4}{7}$

Oduzmemo posebno cele, posebno sedmine.

Odgovor: $2\frac{4}{7}$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Izračunaj $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$. Rezultat napiši kao nesvodljiv razlomak (veći od 1 može i kao mešoviti broj).

Zadatak 2

Izračunaj $\frac{2}{3} + \frac{4}{5} + \frac{1}{4}$. Rezultat napiši kao nesvodljiv razlomak (veći od 1 može i kao mešoviti broj).

Zadatak 3

Izračunaj $3\frac{3}{4} + 4\frac{1}{2}$. Rezultat napiši kao mešoviti broj sa nesvodljivim razlomkom (npr. 2 1/2).

Zadatak 4

Biciklistička staza duga je 3 km. Ivana je prešla $1\frac{8}{9}$ km. Koliko kilometara joj je još ostalo? Rezultat napiši kao razlomak ili mešoviti broj.

Zadatak 5

Ana je napisala $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 3\frac{1}{2}$. Šta je pogrešila?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 33. Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva — koliko je kilometara Luka ukupno prešao?