Uglovi na transverzali — zašto ulica seče obe tramvajske šine pod istim uglom?

Transverzala dve paralelne prave i osam uglova koje gradi, zašto su uglovi jednaki ili suplementni (translacija duž transverzale), saglasni, naizmenični i suprotni uglovi, normala na paralelne prave, uglovi sa paralelnim kracima, uglovi paralelograma, pravougaonik i kvadrat.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/145

Video

Dve tramvajske šine su paralelne, a ulica ih preseca ukoso. Na svakom preseku nastanu po četiri ugla. Da li ulica seče drugu šinu pod istim uglom kao prvu? I šta to ima veze sa pomeranjem — translacijom? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Transverzala: Neka su $k$ i $l$ dve paralelne prave (kao dve šine), a prava $t$ (ulica) seče obe. Prava koja seče dve prave zove se transverzala. Sa pravama $k$ i $l$ ona gradi osam uglova — po četiri oko svakog preseka. Te uglove zovemo uglovi na transverzali (ili transverzalni uglovi). Označimo ih brojevima: oko preseka sa $k$ redom 1 (gore desno), 2 (gore levo), 3 (dole levo), 4 (dole desno), a oko preseka sa $l$ na isti način 5, 6, 7, 8.
Zašto su neki uglovi jednaki: Pomerimo (transliramo) ceo presek sa $k$ duž prave $t$ dok tačka preseka ne dođe na pravu $l$. Prava $t$ klizi sama po sebi, a prava $k$ prelazi u paralelnu pravu — baš u $l$. Zato ugao 1 pada tačno na ugao 5, ugao 2 na ugao 6 i tako dalje. Pomeranjem se veličina ugla ne menja — samo mu se kraci pomere u paralelne poluprave.
Oštri jednaki, tupi jednaki: Ako $t$ nije normalna na $k$, među osam uglova su četiri jednaka oštra i četiri jednaka tupa ugla: uglovi 1, 3, 5 i 7 su jednaki, a i uglovi 2, 4, 6 i 8 su jednaki. Jedan oštar i jedan tup ugao uvek su suplementni: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Primer: ako je $\angle 1 = 64^\circ$, onda su uglovi 3, 5 i 7 takođe $64^\circ$, a uglovi 2, 4, 6 i 8 po $116^\circ$.
Spoljašnji i unutrašnji uglovi: Uglovi koji su „između šina“ (između pravih $k$ i $l$) su unutrašnji: 3, 4, 5 i 6. Uglovi „spolja“ su spoljašnji: 1, 2, 7 i 8.
Saglasni, naizmenični i suprotni: Posmatramo parove uglova kod različitih preseka (uglovi kod istog preseka su unakrsni ili uporedni). Saglasni uglovi zauzimaju isto mesto u svom preseku — jedan je spoljašnji, drugi unutrašnji, sa iste strane transverzale (1 i 5, 2 i 6, 3 i 7, 4 i 8); oni su jednaki. Naizmenični uglovi su kod različitih preseka, oba unutrašnja ili oba spoljašnja, sa različitih strana transverzale (3 i 5, 4 i 6, 1 i 7, 2 i 8); i oni su jednaki. Suprotni uglovi su kod različitih preseka, oba unutrašnja ili oba spoljašnja, sa iste strane transverzale (3 i 6, 4 i 5, 2 i 7, 1 i 8); njihov zbir je $180^\circ$.
Ulica normalna na šine: Ako je transverzala normalna na jednu od dve paralelne prave, normalna je i na drugu — tada su svih osam uglova pravi.
Uglovi sa paralelnim kracima: Isto važi za bilo koja dva ugla čiji su kraci paralelni. Uglovi iste vrste (dva oštra, dva tupa ili dva prava) imaju jednake mere, a oštar i tup ugao sa paralelnim kracima zajedno daju opružen ugao. Primer: ugao od $47^\circ$ i tup ugao sa paralelnim kracima — tup ima $180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$.
Uglovi paralelograma: Paralelogram ima dva para paralelnih stranica, pa su njegovi uglovi uglovi sa paralelnim kracima. Dva susedna ugla paralelograma su suplementna, a dva naspramna jednaka. Zato je zbir sva četiri ugla $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$, a ako je jedan ugao prav, prava su sva četiri.
Pravougaonik i kvadrat: Paralelogram kome su svi uglovi pravi zovemo pravougaonik. Ako su pravougaoniku još i sve četiri stranice iste dužine, to je kvadrat. Dakle, svaki kvadrat je pravougaonik, a svaki pravougaonik je paralelogram — ali obrnuto ne mora da važi.

Formule

Uglovi na transverzali (k ∥ l)

\angle 1 = \angle 5, \qquad \angle 3 = \angle 5, \qquad \angle 3 + \angle 6 = 180^\circ

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\angle 1, \angle 5$	saglasni uglovi — jednaki	°
$\angle 3, \angle 5$	naizmenični uglovi — jednaki	°
$\angle 3, \angle 6$	suprotni uglovi — suplementni	°

Važi samo kad su prave k i l paralelne.

Paralelogram

\alpha + \beta = 180^\circ, \qquad \alpha = \gamma, \quad \beta = \delta

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\alpha, \beta$	susedni uglovi	°
$\alpha, \gamma$	naspramni uglovi	°

Zbir sva četiri ugla paralelograma je $360^\circ$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta je transverzala?

2. Koliko uglova gradi transverzala sa dve paralelne prave?

3. Šta važi za saglasne uglove kad su prave k i l paralelne?

4. Šta važi za suprotne uglove kad su prave k i l paralelne?

5. Šta translacija radi sa veličinom ugla?

6. Dva ugla imaju paralelne krake; jedan je oštar, a drugi tup. Kakvi su?

7. Prava je normalna na jednu od dve paralelne prave. Šta važi za drugu?

8. Kakvi su susedni uglovi paralelograma?

9. Šta je kvadrat?

10. Koji par uglova na transverzali (numeracija kao u času) čine naizmenični uglovi?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Ulica (transverzala $t$) seče paralelne šine $k$ i $l$, a $\angle 1 = 58^\circ$. Koliki su svi uglovi na transverzali?

$\angle 3 = \angle 5 = \angle 7 = 58^\circ$

Ugao 3 je unakrsni uglu 1, ugao 5 saglasni, a ugao 7 unakrsni uglu 5.
$180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$

Ostali uglovi (2, 4, 6, 8) su tupi i suplementni oštrima.

Odgovor: Uglovi 1, 3, 5, 7 imaju 58°, a uglovi 2, 4, 6, 8 imaju 122°.

Zadatak 2

Na transverzali je $\angle 2 = 131^\circ 24'$. Koliki je $\angle 5$?

$\angle 1 = 180^\circ - 131^\circ 24' = 179^\circ 60' - 131^\circ 24' = 48^\circ 36'$

Uglovi 1 i 2 su uporedni; jedan stepen razbijemo u 60 minuta.
$\angle 5 = \angle 1 = 48^\circ 36'$

Uglovi 1 i 5 su saglasni, pa su jednaki.

Odgovor: $48^\circ 36'$

Zadatak 3

Jedan ugao paralelograma ima $74^\circ$. Koliki su ostali uglovi?

$180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$

Susedni uglovi paralelograma su suplementni.
Naspramni uglovi su jednaki: $74^\circ$ i $106^\circ$.

Provera: $74 + 106 + 74 + 106 = 360$.

Odgovor: 74°, 106°, 74° i 106°.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Paralelne prave k i l seče transverzala t. (Uglovi su označeni kao u času: oko preseka sa k redom 1 gore desno, 2 gore levo, 3 dole levo, 4 dole desno; oko preseka sa l na isti način 5, 6, 7, 8.) Ako je $\angle 1 = 120^\circ 2'$, koliki je $\angle 6$? Upiši ga u stepenima i minutima (npr. 48°36′ ili 48 36).

Zadatak 2

Zbir tri ugla jednog paralelograma je 301°. Koliki je najmanji ugao tog paralelograma?

Zadatak 3

Transverzala seče dve paralelne prave i nije normalna na njih. Zbir svih tupih uglova koje gradi sa tim pravama je 600°. Koliki je svaki oštar ugao?

Zadatak 4

Jedan ugao paralelograma je prav. Šta sigurno možemo reći o tom paralelogramu?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 32. Sabiranje i oduzimanje razlomaka — koliko trake ostane posle mašne i narukvice?