Ugao između dve prave i unakrsni uglovi — zašto makaze otvaraju dva jednaka ugla?

Četiri ugla koje grade dve prave koje se seku, unakrsni uglovi i zašto su jednaki, ugao između dve prave, normalne prave, tangenta normalna na poluprečnik, normala kroz tačku, rastojanje tačke od prave i rastojanje paralelnih pravih.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/144

Video

Kad otvoriš makaze čije su drške u produžetku sečiva, sečiva i drške leže na dve prave koje se seku u zavrtnju. Ugao između drški tada je tačno jednak uglu između sečiva — koliko god da ih otvoriš. Zašto? I šta se dešava kad makaze otvoriš „u ćošak“? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Makaze i četiri ugla: Prave $m$ i $s$ seku se u tački $S$ (kod makaza — u zavrtnju). Oko tačke $S$ nastaju četiri ugla; označimo ih redom brojevima $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$. Zajedno popunjavaju ceo krug oko $S$, pa im je zbir pun ugao, $360^\circ$. Svaka dva susedna ugla su uporedna: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.
Unakrsni uglovi: Uglovi $\angle 1$ i $\angle 3$ stoje „jedan naspram drugog“: kraci jednog su produžeci krakova drugog (suprotne poluprave). Takva dva ugla zovu se unakrsni uglovi. Unakrsni su i $\angle 2$ i $\angle 4$. Kod makaza: ugao između sečiva i ugao između drški.
Zašto su unakrsni jednaki: I $\angle 1$ i $\angle 3$ su uporedni sa istim uglom $\angle 2$. Zato je $\angle 1 = 180^\circ - \angle 2$ i $\angle 3 = 180^\circ - \angle 2$ — od istog broja oduzimamo isti broj, pa je $\angle 1 = \angle 3$. Unakrsni uglovi su uvek jednaki. (Ako ceo crtež okrenemo za pola kruga oko tačke $S$, jedan unakrsni ugao pada tačno na drugi — oni su centralno simetrični u odnosu na $S$.)
Ugao između dve prave: Među četiri ugla dve prave koje se seku su najviše dve različite mere: dva jednaka manja i dva jednaka veća ugla (osim kad su sva četiri jednaka). Ugao između pravih je manji od njih — oštar ugao koji prave grade. Ako je jedan od uglova $151^\circ$, ugao između pravih je $180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$.
Makaze „u ćošak“ — normalne prave: Ako je bar jedan od četiri ugla prav, prava su sva četiri: njegov unakrsni je jednak njemu, a uporedni su $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Tada kažemo da su prave normalne i pišemo $m \perp s$ (čita se „$m$ je normalna na $s$“). Ako je $m \perp s$, onda je i $s \perp m$. Ugao između normalnih pravih je prav.
Tangenta i poluprečnik: Tangenta $t$ kružnice sa centrom $C$, koja kružnicu dodiruje u tački $D$, normalna je na poluprečnik $CD$. Zato tangentu crtamo trouglom (trougaonim lenjirom): teme pravog ugla trougla stavimo u tačku $D$, jednu ivicu uz prav ugao položimo duž poluprečnika $CD$, a uz drugu ivicu povučemo tangentu.
Normala kroz tačku: Za pravu $m$ i tačku $K$ postoji tačno jedna prava kroz $K$ koja je normalna na $m$ — i kad je $K$ na pravoj $m$, i kad nije. Crtamo je trouglom: jednu ivicu uz prav ugao položimo duž $m$ i klizimo trougao duž $m$ dok druga ivica uz prav ugao ne dođe do tačke $K$; uz tu ivicu povučemo normalu.
Rastojanje tačke od prave: Neka tačka $K$ nije na pravoj $m$ i neka normala iz $K$ seče $m$ u tački $N$ (podnožje normale). Dužina duži $KN$ je rastojanje tačke $K$ od prave $m$. To je najkraći put od $K$ do prave $m$: svaka kosa duž od $K$ do $m$ je duža. Zato je i rastojanje centra kružnice od tangente jednako poluprečniku.
Rastojanje paralelnih pravih: Kod dve paralelne prave sve tačke jedne prave jednako su udaljene od druge — kao dve ivice lenjira ili dve šine pruge. To zajedničko rastojanje zovemo rastojanje paralelnih pravih. Prava normalna na jednu od dve paralelne prave normalna je i na drugu.

Formule

Unakrsni i uporedni uglovi

\angle 1 = \angle 3, \qquad \angle 2 = \angle 4, \qquad \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\angle 1, \angle 3$	par unakrsnih uglova	°
$\angle 2, \angle 4$	drugi par unakrsnih uglova	°

Zbir sva četiri ugla oko preseka je $360^\circ$.

Normalne prave

m \perp s \;\Leftrightarrow\; \text{ugao između } m \text{ i } s = 90^\circ

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\perp$	„normalno na“	—

Tangenta je normalna na poluprečnik u dodirnoj tački; rastojanje centra od tangente je poluprečnik.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko uglova manjih od opruženog grade dve prave koje se seku?

2. Šta važi za dva unakrsna ugla?

3. Jedan od uglova koje grade dve prave je 65°. Koliki je njemu unakrsni ugao?

4. Šta znači zapis $m \perp s$?

5. Koliko pravih kroz tačku K je normalno na pravu m?

6. Šta je rastojanje tačke K od prave m?

7. Koliki ugao tangenta kružnice zaklapa sa poluprečnikom u dodirnoj tački?

8. Šta važi za tačke prave a ako je a paralelna sa b?

9. Kakav može biti ugao između dve prave koje se seku?

10. Gde stavljamo teme pravog ugla trougla kad crtamo tangentu u tački D?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Makaze su otvorene tako da sečiva zaklapaju ugao od 38°. Koliki su ostali uglovi oko zavrtnja?

$\angle 3 = \angle 1 = 38^\circ$

Ugao između drški je unakrsni uglu između sečiva.
$\angle 2 = \angle 4 = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$

Druga dva su uporedni uglovi sa uglom od 38°.

Odgovor: 38°, 142°, 38° i 142°.

Zadatak 2

Zbir tri od četiri ugla koje grade dve prave je 290°. Koliki su svi uglovi?

$360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$

Sva četiri ugla zajedno čine pun ugao.
$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Unakrsni ugao je takođe 70°, a druga dva su uporedni sa njim.

Odgovor: 70°, 110°, 70° i 110°.

Zadatak 3

Jedan od uglova koje grade dve prave četiri puta je veći od svog uporednog ugla. Koliki je ugao između tih pravih?

$180^\circ : 5 = 36^\circ$

Uporedni uglovi zajedno imaju 180°, a to je „pet delova“: manji je jedan deo, veći četiri.
$4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Veći ugao; ugao između pravih je manji, oštar.

Odgovor: 36°

Zadatak 4

Kružnica sa centrom $C$ i poluprečnikom $3\ \mathrm{cm}$ ima tangentu $t$ u tački $D$. Koliko je rastojanje centra $C$ od prave $t$?

$CD \perp t$

Tangenta je normalna na poluprečnik u dodirnoj tački.
$CD = 3\ \mathrm{cm}$

Zato je duž CD baš rastojanje tačke C od prave t.

Odgovor: 3 cm.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Prave m i s seku se u tački S. Zbir dva unakrsna ugla koje one grade je 188°. Koliki je svaki od preostala dva ugla?

Zadatak 2

Prave m i s seku se. Jedan od uglova koje grade veći je od svog uporednog ugla za $17^\circ 24'$. Koliki je ugao između pravih m i s? Upiši ga u stepenima i minutima (npr. 51°40′ ili 51 40).

Zadatak 3

Prave a i b su paralelne i rastojanje između njih je 8 cm. Tačka M je na rastojanju 7 cm od prave a, a prava a je između tačke M i prave b. Koliko centimetara je tačka M udaljena od prave b?

Zadatak 4

Kružnica ima prečnik 8 cm, a prava t je njena tangenta. Koliko centimetara je centar kružnice udaljen od prave t?

Zadatak 5

Prave m i s se seku i jedan od četiri ugla koje grade je prav. Koliko je među njima pravih uglova?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 31. Uglovi na transverzali — zašto ulica seče obe tramvajske šine pod istim uglom?