Merenje uglova — koliko stepeni pređe kazaljka za jedan sat?

Stepen kao jedinica za ugao (opružen ugao 180°, prav 90°, pun ugao 360°), mere oštrog, tupog i nekonveksnog ugla, uglomer i merenje/crtanje ugla, minuti i sekunde (1° = 60′, 1′ = 60″), pretvaranje, sabiranje i oduzimanje mera uglova sa prenosom, mera komplementnog i suplementnog ugla, množenje i deljenje mere ugla prirodnim brojem.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/143

Video

Velikoj kazaljki za ceo krug brojčanika treba 60 minuta. Za koliko stepeni se ona okrene za 1 minut, za 15 minuta, za pola sata? I kako se meri ugao kad nam treba tačnost veća od jednog stepena? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Krug na 360 delova: Pun krug oko jedne tačke podeljen je na 360 jednakih uglova — svaki je jedan stepen, $1^\circ$. Isto je reći da je stepen sto osamdeseti deo opruženog ugla. Velika kazaljka za 60 minuta opiše pun ugao od $360^\circ$, pa za 1 minut pređe $360^\circ : 60 = 6^\circ$, za 15 minuta $90^\circ$, a za 30 minuta $180^\circ$. Ugao između dva susedna broja na satu (od 12 do 1) je $360^\circ : 12 = 30^\circ$.
Mere vrsta uglova: Na satu se lepo vidi koliko koji ugao ima. Ceo krug (kazaljka od 12 do 12) je pun ugao, $360^\circ$. Pola kruga (od 12 do 6) je opružen ugao, $180^\circ$, a četvrt kruga (od 12 do 3) prav ugao, $90^\circ$. Uglovi manji od pravog, između $0^\circ$ i $90^\circ$, su oštri; tupi su između $90^\circ$ i $180^\circ$, a nekonveksni između $180^\circ$ i $360^\circ$. Dva ugla su jednaka tačno kada imaju istu meru.
Uglomer: Uglomer je polukrug sa podeocima od $0^\circ$ do $180^\circ$. Središte uglomera (obično mali krstić) stavimo u teme ugla, a nulu na jedan krak; mera ugla je broj kod koga prolazi drugi krak. Uglomer ima dve skale — čitamo onu koja kreće od nule na kraku od kog smo počeli. Ugao crtamo obrnuto: nacrtamo krak, postavimo uglomer, obeležimo tačku kod tražene mere i spojimo je sa temenom.
Minuti i sekunde: Za preciznije merenje stepen se deli kao sat: $1^\circ = 60'$ (minuta), a $1' = 60''$ (sekundi), pa je $1^\circ = 3\,600''$. Pretvaranje radimo deljenjem sa ostatkom: $250' = 4 \cdot 60' + 10' = 4^\circ 10'$. Obrnuto, $3^\circ 25' = 180' + 25' = 205'$.
Sabiranje i oduzimanje mera: Sabiramo posebno stepene, posebno minute (i sekunde). Ako minuta bude 60 ili više, 60 minuta pretvorimo u jedan stepen: $37^\circ 45' + 18^\circ 30' = 55^\circ 75' = 56^\circ 15'$. Kod oduzimanja, ako je minuta premalo, jedan stepen „razbijemo“ u 60 minuta: $50^\circ 10' - 23^\circ 40' = 49^\circ 70' - 23^\circ 40' = 26^\circ 30'$.
Komplementni i suplementni u stepenima: Komplementni ugao dopunjuje do $90^\circ$, a suplementni do $180^\circ$. Za $\alpha = 64^\circ 25'$: komplementni je $90^\circ - 64^\circ 25' = 89^\circ 60' - 64^\circ 25' = 25^\circ 35'$, a suplementni $180^\circ - 64^\circ 25' = 115^\circ 35'$.
Množenje i deljenje mere: Meru množimo ili delimo prirodnim brojem deo po deo. $3 \cdot (21^\circ 40') = 63^\circ 120' = 65^\circ$. Kod deljenja ostatak stepeni pretvorimo u minute: $47^\circ 30' : 2 = (46^\circ + 90') : 2 = 23^\circ 45'$.

Formule

Jedinice

1^\circ = 60', \qquad 1' = 60'', \qquad 1^\circ = 3\,600''

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$^\circ$	stepen	—
$'$, $''$	minut, sekunda	—

Kao kod sata: 60 minuta, 60 sekundi.

Mere uglova

\text{prav} = 90^\circ,\quad \text{opružen} = 180^\circ,\quad \text{pun} = 360^\circ

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\alpha$	oštar: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$	°
$\beta$	tup: $90^\circ < \beta < 180^\circ$	°

Komplementni do 90°, suplementni do 180°.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko stepeni ima opružen ugao?

2. Koliko stepeni ima pun ugao?

3. Ugao od 125° je:

4. Koliko minuta ima jedan stepen?

5. Koliko je $2^\circ 15'$ u minutima?

6. Koliko je $48^\circ 50' + 11^\circ 20'$?

7. Koliko stepeni ima ugao između brojeva 12 i 1 na satu?

8. Šta stavljamo u teme ugla kad merimo uglomerom?

9. Koliki je suplementni ugao ugla od 70°?

10. Koliki je komplementni ugao ugla od 52°?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Za koliko stepeni se velika kazaljka okrene za 25 minuta?

$360^\circ : 60 = 6^\circ$

Za jedan minut.
$25 \cdot 6^\circ = 150^\circ$

Za 25 minuta.

Odgovor: 150° — to je tup ugao.

Zadatak 2

Odredi komplementni ugao ugla $\alpha = 51^\circ 27' 38''$.

$90^\circ = 89^\circ 60' = 89^\circ 59' 60''$

Jedan stepen razbijemo u 60 minuta, a jedan minut u 60 sekundi.
$89^\circ 59' 60'' - 51^\circ 27' 38'' = 38^\circ 32' 22''$

Oduzmemo posebno stepene, minute i sekunde.

Odgovor: $38^\circ 32' 22''$

Zadatak 3

Koliko je $3 \cdot (28^\circ 35')$, a koliko $(28^\circ 35') : 5$?

$3 \cdot 28^\circ 35' = 84^\circ 105' = 85^\circ 45'$

105′ = 1° 45′.
$28^\circ 35' = 25^\circ 215'$, a $25^\circ 215' : 5 = 5^\circ 43'$

Prvo napravimo stepene deljive sa 5: 3° = 180′, pa je 35′ + 180′ = 215′.

Odgovor: $85^\circ 45'$ i $5^\circ 43'$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Izračunaj $63^\circ 23' + 5^\circ 38'$. Upiši rezultat u stepenima i minutima (npr. 56°15′ ili 56 15).

Zadatak 2

Ugao $\beta$ je 2 puta veći od ugla $\alpha = 61^\circ 51'$. Koliki je ugao $\beta$? Upiši ga u stepenima i minutima (npr. 65°20′ ili 65 20).

Zadatak 3

Za koliko minuta velika (minutna) kazaljka sata pređe ugao od 354°?

Zadatak 4

Koja od ovih mera pripada oštrom uglu?

Zadatak 5

Koliko je $500'$ u stepenima i minutima?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 30. Ugao između dve prave i unakrsni uglovi — zašto makaze otvaraju dva jednaka ugla?