Prenošenje i nadovezivanje uglova — kako šestar „kopira“ ugao?

Prenošenje (kopiranje) ugla lenjirom i šestarom, susedni (nadovezani) uglovi — zajedničko teme i zajednički krak bez preklapanja, uglovi na satu kao nadovezani jednaki uglovi, konstruktivno sabiranje uglova i umnožak ugla (2 · α, 3 · α), konstruktivno oduzimanje uglova (α − β).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/141

Video

Luka pravi papirni zmaj i treba mu da dva ugla na drvenom krstu budu potpuno ista. Uglomer još nema — ima samo lenjir i šestar. Mina kaže da je i to dovoljno: šestar može da „zapamti“ ugao i prenese ga bilo gde. Kako? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Šestar pamti otvor ugla: Iz prošlog časa znamo: dva konveksna ugla su jednaka ako na kružnicama istog poluprečnika odsecaju jednake tetive. Zato šestar može da „zapamti“ ugao: dovoljno je da zapamti poluprečnik luka i dužinu tetive.
Kopiranje ugla korak po korak: Dat je ugao $\angle xVy$, a novi ugao treba da ima teme $T$ i krak $Tz$. (1) Istim otvorom šestara opišemo luk oko $V$ — on seče krake u tačkama $E$ i $F$ — i luk oko $T$, koji seče $Tz$ u tački $G$. (2) Šestarom uzmemo rastojanje $EF$ i zabodemo iglu u $G$; olovka seče luk oko $T$ u tački $H$ (sa jedne ili druge strane kraka $Tz$ — biramo jednu). (3) Lenjirom povučemo polupravu $TH$. Ugao $\angle zTH$ jednak je uglu $\angle xVy$.
Uglovi na satu su nadovezani: Ugao između brojeva 12 i 1 na satu označimo sa $\alpha$. Od 12 do 4 nalaze se četiri takva ugla, jedan do drugog: svaki sledeći počinje tamo gde prethodni završava. Zato je ugao kazaljki u 4 sata $4 \cdot \alpha$.
Susedni uglovi: Dva ugla koja imaju zajedničko teme i zajednički krak, a ne preklapaju se, zovu se susedni ili nadovezani uglovi — kao dva susedna parčeta torte. Ugao od 12 do 2 i ugao od 2 do 5 na satu su susedni: teme je centar, a zajednički krak ide ka broju 2.
Sabiranje i umnožak: Da saberemo uglove $\alpha$ i $\beta$, prenesemo $\beta$ tako da bude susedan uglu $\alpha$. Ugao koji oba zajedno obuhvataju je zbir $\alpha + \beta$. Ugao $3 \cdot \alpha$ sastoji se od tri jednaka susedna ugla $\alpha$. (Biramo uglove tako da zbir ne bude veći od opruženog ugla.)
Oduzimanje: Ako je $\alpha > \beta$, ugao $\beta$ prenesemo unutar ugla $\alpha$, sa zajedničkim temenom i jednim zajedničkim krakom. Deo ugla $\alpha$ koji ostaje van ugla $\beta$ je razlika $\alpha - \beta$. Na satu: ugao od 12 do 5 minus ugao od 12 do 2 je ugao od 2 do 5, tj. $5 \cdot \alpha - 2 \cdot \alpha = 3 \cdot \alpha$.

Formule

Zbir susednih uglova

\angle uVw = \angle uVv + \angle vVw

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$Vv$	zajednički krak susednih uglova	—

Uglovi se sabiraju nadovezivanjem, a oduzimaju prenošenjem unutar većeg.

Umnožak ugla

3 \cdot \alpha = \alpha + \alpha + \alpha

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\alpha$	dati ugao	—

Tri jednaka susedna ugla.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kada su dva ugla susedna?

2. Koji pribor koristimo da prenesemo ugao bez uglomera?

3. Šta šestar „pamti“ kada kopira ugao?

4. Kako se dobija zbir uglova α i β?

5. Kako se dobija razlika α − β, ako je α > β?

6. Od koliko jednakih susednih uglova α se sastoji ugao 3 · α?

7. Ugao između kazaljki u 2 sata je koliko puta veći od ugla u 1 sat?

8. Da li dužina krakova utiče na veličinu ugla?

9. U koraku kopiranja ugla, oko koje tačke opisujemo luk istog poluprečnika kao oko starog temena?

10. Ugao od 12 do 6 na satu je opružen. Koliko jednakih uglova α (od 12 do 1) se nadovezuje u njemu?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Na satu su tri kazaljke iz iste tačke: na 12, na 2 i na 5. Koji ugao je zbir ugla od 12 do 2 i ugla od 2 do 5?

Uglovi od 12 do 2 i od 2 do 5 imaju isto teme i zajednički krak (ka broju 2) i ne preklapaju se.

To su susedni uglovi.
Zajedno obuhvataju ugao od 12 do 5.

Zbir susednih uglova.

Odgovor: Ugao od 12 do 5, tj. $2 \cdot \alpha + 3 \cdot \alpha = 5 \cdot \alpha$.

Zadatak 2

Kako bez uglomera nacrtati ugao koji je dvaput veći od datog ugla α?

Na datu polupravu prenesemo ugao α (luk, tetiva, krak).

Dobijamo prvi ugao α.
Na njegov drugi krak, sa spoljne strane, prenesemo α još jednom.

Dva jednaka susedna ugla.

Odgovor: Ugao od prvog do poslednjeg kraka je $2 \cdot \alpha$.

Zadatak 3

Koliki je ugao od 12 do 9 minus ugao od 12 do 4 (uglovi idu u smeru kazaljke)?

$9 \cdot \alpha - 4 \cdot \alpha$

Ugao od 12 do 4 smestimo unutar ugla od 12 do 9, sa zajedničkim krakom ka 12.
$= 5 \cdot \alpha$

Ostaje ugao od 4 do 9.

Odgovor: Ugao od 4 do 9, tj. $5 \cdot \alpha$.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Na satu jedna kazaljka pokazuje na broj 2, a druga na broj 7. Neka je α ugao između dva susedna broja na satu, na primer između 12 i 1. Koliko puta α staje u manji ugao između kazaljki (kraćim putem)?

Zadatak 2

Uglovi $\angle KOL$ i $\angle LOM$ su susedni. Koji ugao je njihov zbir?

Zadatak 3

Ugao $\angle ROT$ podeljen je krakom OS na dva susedna ugla. Koji ugao je $\angle ROT - \angle ROS$?

Zadatak 4

Ugao $\beta$ je prenet unutar ugla $\alpha$ tako da imaju zajednički krak, i drugi krak ugla $\beta$ je pao tačno na drugi krak ugla $\alpha$. Šta važi?

Zadatak 5

Na satu je ugao od 12 do 3 označen sa $\gamma$. Koji ugao je $2 \cdot \gamma$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 28. Uporedni uglovi i vrste uglova — kakav ugao prave kazaljke u 2 sata?