Ugao — koliko se otvorila vrata i šta to ima veze sa satom?
Ugaona linija (dve poluprave sa zajedničkim početkom), ugao kao ugaona linija i jedna od dve oblasti, teme i kraci, oznake ∠aSb, ∠KSL, α, β, γ, centralni ugao (teme u centru kružnice), opružen ugao (kraci su suprotne poluprave), konveksan i nekonveksan ugao, jednaki konveksni centralni uglovi (jednake tetive i lukovi), broj ugaonih linija koje određuje više polupravih, uglovi mnogougla.
Video
Pojmovi
- Vrata i kazaljke
- Kad se vrata otvaraju, šarke ostaju na mestu, a ivica vrata se okreće. Ivica zida i ivica vrata su kao dve poluprave sa zajedničkom početnom tačkom u šarkama. Dve poluprave $Sa$ i $Sb$ sa zajedničkim početkom $S$ čine ugaonu liniju $aSb$. I dve kazaljke sata kreću iz iste tačke — iz centra brojčanika.
- Ugao na satu: centralni ugao
- Ugao čije je teme u centru kružnice zove se centralni ugao te kružnice — takav je ugao između dve kazaljke, jer je teme u centru brojčanika. Njegovi kraci seku kružnicu u dve tačke, a one određuju tetivu i luk kružnice.
- Teme, kraci i oznake
- Zajednička početna tačka $S$ je teme ugla, a poluprave $Sa$ i $Sb$ su kraci. Ugaona linija deli ravan na dva dela, a ugao čine ugaona linija i jedan od ta dva dela (crtamo luk da pokažemo koji). Pišemo $\angle aSb$, a ako su $K$ i $L$ tačke na kracima, $\angle KSL$ — teme je uvek u sredini oznake. Kraće, jednim slovom, ugao označavamo grčkim slovima: $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gama), $\delta$ (delta).
- Kazaljke u šest sati: opružen ugao
- U šest sati jedna kazaljka pokazuje gore, a druga dole — kraci su suprotne poluprave i zajedno čine jednu pravu. Tada ugaona linija deli ravan na dve poluravni, a svaka od njih zajedno sa tom pravom je opružen ugao. Svaka dva opružena ugla su jednaka.
- Manji i veći deo
- Ako kraci nisu suprotne poluprave, dva ugla koje određuje ugaona linija nisu ista: jedan je „uži“, drugi obuhvata sve ostalo. Uži je konveksan: za svake dve njegove tačke cela duž između njih je u uglu. Drugi je nekonveksan — u njemu se nađu dve tačke čija duž prelazi preko kraka. Opružen ugao je konveksan. U ovom času, kad kažemo „ugao“, mislimo na konveksan ugao.
- Jednaki uglovi
- Dva konveksna centralna ugla na kružnicama istog poluprečnika poredimo preko tetiva: ako su tetive jednake, jednaki su i uglovi (i lukovi); duža tetiva — veći ugao. Kazaljke u 3 sata i u 9 sati odsecaju jednake tetive, pa zaklapaju jednake uglove. Pazi: za nekonveksne uglove ovo ne važi — konveksan i nekonveksan ugao iste ugaone linije imaju istu tetivu, a nisu jednaki.
- Lepeza polupravih
- Svake dve od više različitih polupravih sa zajedničkim početkom čine po jednu ugaonu liniju, a svaka ugaona linija određuje dva ugla. Četiri poluprave daju $4 \cdot 3 : 2 = 6$ ugaonih linija — kao kod brojanja duži između tačaka.
- Uglovi mnogougla
- Mnogougao ima ugao kod svakog temena: kraci tog ugla idu ka dvama susednim temenima. U četvorouglu $KLMN$ uglovi su $\angle NKL$, $\angle KLM$, $\angle LMN$ i $\angle MNK$. Zato konveksan mnogougao ima onoliko uglova koliko ima temena.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $S$ | teme | — |
| $Sa, Sb$ | kraci | — |
Teme se piše u sredini.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | broj polupravih | — |
Svake dve poluprave daju jednu ugaonu liniju (a ona određuje dva ugla).
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je ugaona linija?
2. Kako se zove zajednička početna tačka krakova ugla?
3. U oznaci $\angle MTR$, koja tačka je teme ugla?
4. Kada je ugao konveksan?
5. Šta je opružen ugao?
6. Koliko uglova određuje jedna ugaona linija?
7. Šta je centralni ugao kružnice?
8. Dva konveksna centralna ugla iste kružnice imaju jednake tetive. Šta važi?
9. Koliko uglova ima konveksan sedmougao?
10. Kojim slovima ugao kraće označavamo jednim slovom?
Rešeni zadaci
Koliko ugaonih linija određuje pet polupravih sa zajedničkim početkom?
-
$5 \cdot 4 = 20$Svaka od pet polupravih može da se upari sa još četiri.
-
$20 : 2 = 10$Svaki par smo tako brojali dvaput.
Pod kakvim uglom stoje kazaljke sata u 6 sati, a pod kakvim u 3 sata i u 9 sati?
-
U 6 sati kazaljke su suprotne poluprave.To je opružen ugao.
-
U 3 i u 9 sati kazaljke odsecaju jednake tetive (svaka po četvrtinu brojčanika).Konveksni centralni uglovi su jednaki.
Na kružnici sa centrom O su tačke K, L i M tako da je luk KL (koji ne sadrži M) duži od luka LM (koji ne sadrži K), a oba su kraća od polovine kružnice. Koji ugao je veći, $\angle KOL$ ili $\angle LOM$?
-
Oba ugla su konveksni centralni uglovi iste kružnice.Duži luk — duža tetiva — veći ugao.
-
Luk KL je duži.Zato je $\angle KOL > \angle LOM$.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Nekoliko različitih polupravih ima zajednički početak. Svake dve od njih čine jednu ugaonu liniju, i tako je dobijeno ukupno 36 ugaonih linija. Koliko ima polupravih?
Kada kazaljke sata određuju dva opružena ugla?
Kako se pravilno zapisuje ugao sa temenom D i tačkama A i G na kracima?
Ugaona linija čiji kraci nisu suprotne poluprave određuje dva ugla. Šta važi za njih?
Četvorougao PRST ima koliko uglova i koji je ugao kod temena S?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 27. Prenošenje i nadovezivanje uglova — kako šestar „kopira“ ugao?